«Логарифмическая функция». Математика, 10 класс.

Содержание темы: 1. Краткий исторический экскурс. 2. Определение логарифма числа. 3. График логарифмической функции. 4. Линейные преобразования графиков логарифмической функции. 5. Свойства логарифмов. 6. Логарифмические уравнения. Классификация по методам решения.

Результатом изучения темы является: 1. Знание определения «Логарифм числа». 2. Знание свойств логарифмов. 3. Умение выполнять преобразования логарифмических выражений на основе применения свойств логарифмов. 4. Умение решать основные типы логарифмических уравнений. 5. Знание свойств логарифмической функции.

Исторический очерк. XVI в. резко возрос объем работы, связанный с вычислениями. Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, необычайно быстро вошли в практику.

Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером ( ) и швейцарцем И. Бюрги ( ). Непер Джон.

Первые таблицы десятичных логарифмов (1617 г.) были составлены по совету Непера английским математиком Г. Бриггсом ( ). Многие из них были найдены с помощью выведенной Бриггсом приближенной формулы:

Непер Джон( ) английский математик. Изобретатель логарифмов, составитель первой таблицы логарифмов, палочек Непера.

Логарифм - определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b.

Вещественный логарифм Логарифм вещественного числа имеет смысл при а > 0, а 1, b > 0. Логарифм:

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов: Натуральные:, основание: e (число Эйлера). Десятичные:, основание: число 10. Двоичные:, основание: число 2. Они применяются в теории информации и информатике.

Логарифмическая функция Функция вида f(x) = log a x, определённая при График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна в своей области определения.

Графики логарифмических функций:

Свойства функции: Область определения (0; +) Область значений: у R Чётность /нечётность: функция не является ни четной, ни нечетной Нули функции: y = 0 при x = 1 Промежутки знакопостоянства: если 0 < a < 1, то y > 0 при x (0; 1), y < 0 при x (1; ) если a > 1, то y > 0 при x (1; ), y < 0 при x (0; 1) Монотонность: при 0 < a < 1 функция убывает при x (0; + ); при a > 1 функция возрастает при x (0; + ) Экстремумов нет. График функции проходит через точку: (1; 0) Асимптота x = 0

Параллельный перенос вдоль оси ОХ:

Симметричное преобразование относительно оси у:

Сжатие и растяжение вдоль оси y:

Симметричное преобразование относительно оси х:

Построение графика функции y = log 2 х

Десятичные логарифмы Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений.

Свойства логарифмов:

Примеры заданий Единого Государственного Экзамена:

Формула перевода логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию Пример:

Логарифмическое уравнение. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Примеры:

Уравнения: решаемые по определению логарифма; приводимые к квадратному.

Метод потенцирования; Метод логарифмирования.

Риманова поверхность: Комплексная логарифмическа я функция пример римановой поверхности; её мнимая часть состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных в виде спирали.

Применение логарифма: Астрономия- величина блеска звёзд

Логарифмическая спираль: Форму логарифмической спирали имеют не только объекты астрономии, но и, например, ракушки многих улиток, рога козлов, паутина паука, семечки подсолнуха.

Применение логарифмической функции: Логарифмическая функция крайне важна в экономике, физике, при проведении научных, экспериментальных расчетов, астрономии и др. Форма логарифмической спирали присуща многим природным объектам. Физика интенсивность звука (децибелы). Астрономия шкала яркости звёзд. Химия активность водородных ионов ( pH). Сейсмология шкала Рихтера. Теория музыки нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков. История логарифмическая шкала времени.

Выполнить самостоятельно: По учебнику «Алгебра и начала анализа 10-11» (Алимов Ш. А. и другие): 1. § 15, стр. 90, § 16, стр. 93, 290, 298*. 4. § 17, стр. 97, § 18, стр. 101, § 19, стр. 106, 337, 340.