МБОУ «Айская СОШ» Работу выполнила: Овечкина Анна, ученица 10 класса Ая 2012

Гипотеза: известно, что в любом выпуклом многограннике сумма числа границ и числа вершин больше числа ребер на 2. Исследую, есть ли способы ее опровержения, насколько они возможны. Гипотеза: известно, что в любом выпуклом многограннике сумма числа границ и числа вершин больше числа ребер на 2. Исследую, есть ли способы ее опровержения, насколько они возможны.

Цель: выяснить, может ли сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер не на 2. Цель: выяснить, может ли сумма числа граней и числа вершин больше числа ребер не на 2. Задачи: Задачи: 1) изучить литературу о разных способах доказывания теории Эйлера; 1) изучить литературу о разных способах доказывания теории Эйлера; 2) выяснить, есть ли способы ее опровержения; 2) выяснить, есть ли способы ее опровержения; 3) подвести итоги работы. 3) подвести итоги работы.

Краткие биографические сведения о Леонардо Эйлере Современная теория многогранников берет свое начало с работ Леонарда Эйлера ( ) - одного из величайших математиков мира, работы которого оказали решающее влияние на развитие многих разделов математики. Л. Эйлер был не только выдающимся математиком, но и крупной творческой личностью. Им было написано около 760 научных статей для журналов, 40 книг, 15 работ для различных конкурсов. Поражает работоспособность ученого, росшая на протяжении всей жизни. Так, в первые 14 лет научной деятельности им было написано 80 работ объемом около 4000 печатных листов, а в последние 14 лет жизни, несмотря на тяжелую болезнь - слепоту, опубликовано свыше 359 работ общим объемом приблизительно 8000 печатных листов. Многие рукописи Эйлера сохранились до наших дней. Эйлер долгое время (с 1727 по 1741 год и с 1766 до конца жизни) жил и работал в России, был действительным членом Петербургской академии наук, оказал большое влияние на развитие русской математической школы, на подготовку кадров ученых - математиков и педагогов России. Леонардо Эйлер ( )

Работы Эйлера дали толчок к постановке и решению различных проблем, способствовали развитию многих разделов математики. Математики последующих поколений учились у Эйлера. Например, французский ученый П. С. Лаплас говорил: «Читайте Эйлера, он учитель всех нас». В 1752 году Эйлером была доказана ставшая знаменитой теорема о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника. Она была помещена в работе «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями». Работы Эйлера дали толчок к постановке и решению различных проблем, способствовали развитию многих разделов математики. Математики последующих поколений учились у Эйлера. Например, французский ученый П. С. Лаплас говорил: «Читайте Эйлера, он учитель всех нас». В 1752 году Эйлером была доказана ставшая знаменитой теорема о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника. Она была помещена в работе «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями».

Теорема В любом выпуклом многограннике сумма числа границ и числа вершин больше числа ребер на 2

Пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р - число его ребер и Г - число граней. Тогда верно равенство В +Г - Р= 2 Число х = В +Г - Р называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То, что эйлеровая характеристика равна 2 для многих многогранников, видно из следующей таблицы: Многогранник ВГРХ Тетраэдр Куб n-угольная пирамида n-угольная призма n+1 2n2n 2nn+23n3n

Представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим одну из его граней и оставшуюся поверхность «растянем» на плоскость. Тогда на плоскости получается сетка, содержащая Г?=Г-1 областей, В вершин и Р ребер. Для данной сетки нужно доказать соотношение Г?+В-Р=1, тогда для многогранника будет справедливо соотношение Г+В-Р=2. Докажем, что соотношение Г?+В-Р=1 не меняется, если в сетке провести какую-либо диагональ. Действительно, после проведения некоторой диагонали в сетке будет Г?+1 граней, В вершин и Р+1 ребро, т.е. (Г?+1)+В-(Р+1)=Г?+В-Р. Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диагонали, разбивающие ее на треугольники и докажем соотношение Г?+В-Р=1 методом математической индукции по числу n треугольников в сетке. Пусть n=1, т.е. сетка состоит из одного треугольника. Тогда Г?=1, В=3, Р=3 и выполняется соотношение Г?+В-Р=1. Пусть теперь соотношение Г?+В-Р=1 имеет место для сетки, состоящей из n треугольников. Присоединим к ней еще один треугольник. Его можно присоединить следующими способами: 1. как ?ABC. Тогда сетка состоит из Г?+1 граней, В+1 вершин и Р+2 ребер, и, следовательно, (Г?+1)+(В+1)-(Р+2)=Г?+В-Р; 2. Как ?MNL. Тогда сетка состоит из Г?+1 граней, В вершин и Р+1 ребер, и, следовательно, (Г?+1)+В-(Р+1)=Г?+В-Р. Таким образом, в обоих случаях, т.е. при любом присоединении (n+1)-го треугольника, выражение Г?+В-Р=1 не меняется, и если оно равнялось 1 для сетки из n треугольников, то оно равняется 1 и для сетки из (n+1) треугольника. Итак, соотношение Г?+В-Р=1 имеет место для любой сетки из треугольников, значит, для любой сетки вообще. Следовательно, для данного многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2. Представим поверхность данного многогранника сделанной из эластичного материала. Удалим одну из его граней и оставшуюся поверхность «растянем» на плоскость. Тогда на плоскости получается сетка, содержащая Г?=Г-1 областей, В вершин и Р ребер. Для данной сетки нужно доказать соотношение Г?+В-Р=1, тогда для многогранника будет справедливо соотношение Г+В-Р=2. Докажем, что соотношение Г?+В-Р=1 не меняется, если в сетке провести какую-либо диагональ. Действительно, после проведения некоторой диагонали в сетке будет Г?+1 граней, В вершин и Р+1 ребро, т.е. (Г?+1)+В-(Р+1)=Г?+В-Р. Пользуясь этим свойством, проведем в сетке диагонали, разбивающие ее на треугольники и докажем соотношение Г?+В-Р=1 методом математической индукции по числу n треугольников в сетке. Пусть n=1, т.е. сетка состоит из одного треугольника. Тогда Г?=1, В=3, Р=3 и выполняется соотношение Г?+В-Р=1. Пусть теперь соотношение Г?+В-Р=1 имеет место для сетки, состоящей из n треугольников. Присоединим к ней еще один треугольник. Его можно присоединить следующими способами: 1. как ?ABC. Тогда сетка состоит из Г?+1 граней, В+1 вершин и Р+2 ребер, и, следовательно, (Г?+1)+(В+1)-(Р+2)=Г?+В-Р; 2. Как ?MNL. Тогда сетка состоит из Г?+1 граней, В вершин и Р+1 ребер, и, следовательно, (Г?+1)+В-(Р+1)=Г?+В-Р. Таким образом, в обоих случаях, т.е. при любом присоединении (n+1)-го треугольника, выражение Г?+В-Р=1 не меняется, и если оно равнялось 1 для сетки из n треугольников, то оно равняется 1 и для сетки из (n+1) треугольника. Итак, соотношение Г?+В-Р=1 имеет место для любой сетки из треугольников, значит, для любой сетки вообще. Следовательно, для данного многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2. 1 наиболее распространенный способ, берущий начало в работе Эйлера и развитый в работе французского математика Огюста Коши

2 способ доказательства теоремы Эйлера Имеется много доказательств теоремы Эйлера. В одной из них используется формула для суммы углов многоугольника. Рассмотрим это доказательство. Возьмем снаружи многогранника точку О вблизи от какой-либо грани F и спроектируем остальные грани на F из центра О. Их проекции образуют разбиение грани F на многоугольники. Подсчитаем двумя способами сумму α углов всех полученных многоугольников и самой грани F. Сумма угов n-угольника равна π(n - 2). Сложим эти числа для всех граней (включая грань F). Сумма членов вида πn равна общему числу сторон всех граней, т.е. 2Р- ведь каждое из Р рёбер принадлежит двум граням. А так как у нас всего Г слагаемых, α = π(2Р - 2Г). Теперь найдем сумму углов при каждой вершине разбиения и сложим эти суммы. Если вершина лежит внутри грани F, то сумма углов вокруг нее равна 2π. Таких вершин В-k, где k- число вершин самой грани F, а значит, их вклад равен 2π(В - k). Углы при вершинах F считаются в сумме дважды (как углы F и как углы многоугольников разбиения); их вклад равен 2π(k - 2). Таким образом, α = 2π(B - k) + 2π(k - 2) = 2π(B - 2). Приравнивая два результата и сокращения на 2π, получаем требуемое равенство Р - Г = В - 2 O F

3 способ, предложенный математиком Л.Н. Бескиным Здесь, как и в случае 1), вырезаем одну грань многогранника и оставшуюся поверхность растягиваем на плоскость. При этом на плоскости получается некоторая плоская фигура. Представим себе, что эта плоская фигура изображает собой остров, который со всех сторон окружен морем и состоит из отдельных полей - граней, отделенных друг от друга и от воды плотинами - ребрами. Начнем постепенно снимать плотины, чтобы вода попала на поля. Причем плотину можно снять только в том случае, если она граничит с водой лишь с одной стороны. Снимая очередную плотину, мы орошаем ровно одно поле. Покажем теперь, что число всех плотин (т.е. Р - число ребер взятого многогранника) равно сумме чисел снятых и оставшихся плотин. Итак, число снятых плотин равно (Г-1). Действительно, снимая плотины, которые омывает вода только с одной стороны, мы оросили все поля (т.е. грани, число которых равно (Г-1), так как одна грань была сначала вырезана). На рисунке 6 номера 1, 2, 3, …, 15 показывают порядок снятия плотин. Число оставшихся плотин равно (В-1). Покажем это. На рисунке 7 наша система изображена после снятия всех возможных плотин. Больше ни одну плотину снять нельзя, так как они омываются с двух сторон. Далее никакие две вершины системы, например B и D (рис. 7), не могут соединяться двумя путями, так как в противном случае получился бы замкнутый контур (рис 8), внутри которого не было бы воды, что противоречит тому, что все поля орошены водой. Отсюда следует, что в оставшейся системе плотин должен быть тупик, т.е. вершина, в которую ведет одно единственное ребро. Выберем какую- либо вершину, например вершину А (рис 7), и пойдем по пути, составленному из плотин, причем не будем проходить никакую вершину дважды. В конце концов, так как число вершин конечно, мы придем в тупик (например в вершину G на рис 7). Тогда отрезок-тупик, т.е. вершину G и прилежащее к ней ребро-плотину, отрежем. В оставшейся системе опять выберем какую-нибудь вершину, пойдем от нее и отрежем получившийся тупик. Поступая так, мы наконец придем к системе, в которой нет плотин, а имеется только одна вершина, которая останется после отрезания последнего тупика. Таким образом, число оставшихся плотин равно (В-1). Окончательно получаем: Р = ( Г - 1 ) + ( В - 1 ), откуда Г + В - Р = 2. Здесь, как и в случае 1), вырезаем одну грань многогранника и оставшуюся поверхность растягиваем на плоскость. При этом на плоскости получается некоторая плоская фигура. Представим себе, что эта плоская фигура изображает собой остров, который со всех сторон окружен морем и состоит из отдельных полей - граней, отделенных друг от друга и от воды плотинами - ребрами. Начнем постепенно снимать плотины, чтобы вода попала на поля. Причем плотину можно снять только в том случае, если она граничит с водой лишь с одной стороны. Снимая очередную плотину, мы орошаем ровно одно поле. Покажем теперь, что число всех плотин (т.е. Р - число ребер взятого многогранника) равно сумме чисел снятых и оставшихся плотин. Итак, число снятых плотин равно (Г-1). Действительно, снимая плотины, которые омывает вода только с одной стороны, мы оросили все поля (т.е. грани, число которых равно (Г-1), так как одна грань была сначала вырезана). На рисунке 6 номера 1, 2, 3, …, 15 показывают порядок снятия плотин. Число оставшихся плотин равно (В-1). Покажем это. На рисунке 7 наша система изображена после снятия всех возможных плотин. Больше ни одну плотину снять нельзя, так как они омываются с двух сторон. Далее никакие две вершины системы, например B и D (рис. 7), не могут соединяться двумя путями, так как в противном случае получился бы замкнутый контур (рис 8), внутри которого не было бы воды, что противоречит тому, что все поля орошены водой. Отсюда следует, что в оставшейся системе плотин должен быть тупик, т.е. вершина, в которую ведет одно единственное ребро. Выберем какую- либо вершину, например вершину А (рис 7), и пойдем по пути, составленному из плотин, причем не будем проходить никакую вершину дважды. В конце концов, так как число вершин конечно, мы придем в тупик (например в вершину G на рис 7). Тогда отрезок-тупик, т.е. вершину G и прилежащее к ней ребро-плотину, отрежем. В оставшейся системе опять выберем какую-нибудь вершину, пойдем от нее и отрежем получившийся тупик. Поступая так, мы наконец придем к системе, в которой нет плотин, а имеется только одна вершина, которая останется после отрезания последнего тупика. Таким образом, число оставшихся плотин равно (В-1). Окончательно получаем: Р = ( Г - 1 ) + ( В - 1 ), откуда Г + В - Р = 2.

Выводы: 1) изучила литературу о разных способах доказательства теории Эйлера; 1) изучила литературу о разных способах доказательства теории Эйлера; 2) выяснила, что в любом выпуклом многограннике сумма числа границ и числа вершин больше числа ребер на 2, как и говорится в теореме, а не на другое число; 2) выяснила, что в любом выпуклом многограннике сумма числа границ и числа вершин больше числа ребер на 2, как и говорится в теореме, а не на другое число;