Курс лекций по теоретической механике Динамика (II часть) Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки. Завершение – Esc. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

Лекция 16. Лекция 16 Малые колебания систем с несколькими степенями свободы. Общая форма дифференциальных уравнений колебаний. Прямая форма. Обратная форма. Главные координаты. Свободные колебания с учетом сопротивления среды.

27 Лекция 16 Малые колебания упругих систем с конечным числом степеней свободы – Рассмотрим упругую, например, двух опорную балку, распределенную массу которой далее будем считать сосредоточенной в нескольких точках, расположенных по длине балки, например, с некоторым равным шагом: Считаем, что точечные массы соединяются жесткими шарнирными стержнями, а упругое (изгибное) взаимодействие отдельных частей исходной балки представим в виде пружин определенной жесткости, обеспечивающих возвращение системы в положение равновесия при ее отклонении. m1m1 m2m2 m3m3 При этом перемещение одной из точек вызывает перемещение других соответственно некоторой гладкой кривой прогиба балки и значит определенную величину реакции каждой из пружин. Реакции упругих связей линейно связаны с перемещениями точек и могут быть вычислены как сумма реакций от единичных перемещений: Заметим, что такие связи не являются идеальными (совершают возможную работу) и должны быть заменены соответствующими реакциями: q 1 =1 q 2 =1 q 3 =1 В матричном виде: Здесь матрица C – симметричная матрица жесткости, элементы которой c ij – реакция по направлению i-той упругой связи от единичного смещения по направлению j-той связи. Аналогично можно представить обратную зависимость (перемещения точек от действия единичной силы): R 1 =1 q 11 q 21 q 31 R 2 =1 R 3 =1 q 22 q 23 q 33 q 12 q 13 В матричном виде: Здесь матрица D – симметричная матрица податливости, элементы которой d ij – перемещение по направлению i-той упругой связи от единичной силы, действующей по направлению j-той связи. Уравнения Лагранжа II рода для рассматриваемой системы: Обобщенная сила: Сумма полных работ всех сил: Приращение работы на вариациях перемещений: Возможная работа: Обобщенная сила: q 32

Лекция 16 ( продолжение – 16.2 ) 2828 Кинетическая энергия. Для механической системы материальных точек кинетическая энергия вычисляется как сумма: m1m1 m2m2 m3m3 Здесь скорость k-той точки: Тогда кинетическая энергия: = m ij В матричном виде: Здесь матрица M – симметричная матрица масс, элементы которой m ij – мера (сила) инерции, соответствующая направлению i-той упругой связи от единичного ускорения по направлению j-той связи: Вычислим необходимые производные кинетической энергии, участвующие в уравнении Лагранжа: Подставим найденные выражения в уравнение Лагранжа: или В матричном виде: - общая форма уравнений малых колебаний При получении уравнений в общей форме матрица масс M и матрица жесткости C являются полностью заполненными, например: Уравнение колебаний в матричном виде может быть представлено и так: Сравните с каноническим уравнением свободных колебаний материальной точки: Специальным выбором обобщенных координат можно добиться диагональности матрицы масс: q 1 =1 q 2 =1 q 3 =1 Тогда кинетическая энергия: Здесь матрица масс M становится диагональной: и система дифференциальных уравнений распадается относительно ускорений: - прямая форма уравнений малых колебаний Физический смысл прямой формы – система расчленяется на отдельные материальные точки, на каждую из которых действуют упругие силы безмассового каркаса.

Лекция 16 ( продолжение – 16.3 ) 29 Обратная форма – получается формально из обратных соотношений обобщенных координат: Здесь силу R j можно рассматривать как силу инерции, приложенной к связи: Тогда: или В матричном виде: Здесь матрица масс M сразу становится диагональной (массы расчленены), а матрица податливости D по-прежнему остается полностью заполненной (упругий безмассовый каркас соединяет точечные массы). Физический смысл – безмассовый каркас нагружен силами инерции со стороны материальных точек. Уравнение колебаний в обратной форме в матричном виде может быть представлено и так: Решение уравнений малых колебаний – получим формально с использованием матричной записи по аналогии с решением дифференциального уравнения свободных колебаний материальной точки: Будем искать решение в виде: - для любого момента времени Это уравнение представляет собой типичную задачу определения собственных значений (и собственных векторов), которое для произвольных значений амплитуд сводится к вычислению определителя следующего (векового) уравнения: Для уравнений малых колебаний в прямой форме матрица масс диагональная и вековое уравнение может быть записано, например, для i = 3 более подробно: Специальные методы и стандартные программы, составленные на их основе, решают данную задачу и в результате получается набор значений собственных частот ( ω i ) и соответствующих им собственных векторов ( φ i ). Последние представляют собой формы собственных колебаний для каждой из собственных частот: Формы собственных колебаний ортогональны между собой, что означает равенство нулю их скалярных произведений: φ 11 φ 12 φ 13 φ 23 φ 33 φ 22 φ 21 φ 31 φ 32 (ω1)(ω1) (ω2)(ω2) (ω3)(ω3) φ1φ1 φ2φ2 φ3φ3 Замечание. При использовании стандартных программ уравнения колебаний приводятся к виду: или Собственные числа и собственные вектора вычисляются для матрицы.

Лекция 16 ( продолжение – 16.4 ) 30 Главные координаты – С целью приведения матрицы масс и матрицы жесткости к диагональному виду можно использовать собственные формы колебаний в качестве новых обобщенных координат. Такие координаты называются главными в силу их ортогональности. В этом случае система дифференциальных уравнений распадается на отдельные совершенно независимые уравнения. Выразим старые координаты q i как линейную комбинацию ортогональных форм с новыми координатами (главными координатами): φ 11 φ 12 φ 13 φ 23 φ 33 φ 22 φ 21 φ 31 φ 32 (ω1)(ω1) (ω2)(ω2) (ω3)(ω3) φ1φ1 φ2φ2 φ3φ3 В матричном виде: Здесь матрица Ф – матрица собственных форм колебаний, элементы которой φ ij – элементы собственных векторов (ординаты эпюр прогибов): Обобщенные скорости выражаются через ортогональные формы и главные координаты аналогично. В матричном виде: Тогда кинетическая энергия системы в матричном виде: Здесь матрица масс – обобщенная матрица масс, которая становится диагональной в силу использованного ортогонального преобразования координат. Точно также потенциальная энергия системы: Здесь матрица жесткости – обобщенная матрица жесткости, которая так же становится диагональной по той же причине. Уравнения движения в главных координатах имеют вид: Подстановка общего решения приводит к равенству, откуда: Свободные колебания с учетом сопротивления среды – Сила вязкого сопротивления движению пропорциональна скорости: Обобщенная сила с учетом силы сопротивления: Уравнения движения в общей форме с учетом силы сопротивления: В матричном виде: Здесь матрица F – диагональная матрица демпфирования

Лекция 16 ( продолжение – 16.5, дополнительный материал ) 31 Примеры вычисления собственных частот для различных схем дискретизации массы – С целью исследования влияния схемы дискретизации массы рассмотрим для одной и той же балки длиной L = 3а, a = 1 м, погонный вес G 1 = 21 кгс/м (206 Н/м), момент инерции поперечного сечения I = 1840 см 4 = м 4, модуль упругости E = кгс/см 2, несколько схем: 1. С одной точечной массой – балка заменяется одной, расположенной посредине, сосредоточенной массой, равной массе балки. 3а3а m =M P=1 Воспользуемся обратной формой: Матрицы имеют первый порядок и представляют собой один всего лишь элемент: Элемент матрицы податливости определим как перемещение от единичной силы с помощью интеграла Мора, используя для его вычисления правило Верещагина: Произведение элементов матриц жесткости и податливости: Обратная величина: Собственная частота колебаний (рад/c): Точное решение (низшая частота колебаний): Ошибка аппроксимации составляет 29.8%. Такая большая ошибка связана с тем, что вся масса балки сосредотачивается в точке максимального прогиба. Вполне логично разбить балку на три части: средняя часть – половина массы балки прикладывается в средней точке, две части – две четверти массы прикладываются в опорных точках и тем самым не участвуют в колебаниях. Таким образом, остается одна точечная масса, равная половине массы балки: Ошибка аппроксимации составляет теперь всего 0.73%. И это очень хороший результат. 2. С двумя точечными массами – балка заменяется двумя, расположенными по третям длины балки, сосредоточенными массами, равными половине массы балки. 3а3а m =0.5M P=1 Матрицы имеют второй порядок: Матрица податливости: Произведение матриц жесткости и податливости: Обратная матрица: Собственные числа: Собственные частоты колебаний (рад/c): Ошибка аппроксимации по нижней частоте 18.4%. Вновь, если принять массу каждого из двух точечных масс, равной одной трети от массы балки при той же геометрии расположения, считая, что оставшаяся треть массы приходится на опоры, то ошибка по нижней частоте снижается до 0.101%. Это не означает, что такая высокая точность получается для высших частот. Для получения достаточной точности по этим частотам приходится увеличивать степень дискретизации (количество точечных масс).