Кластеризация данных Александр Котов, гр Николай Красильников, гр. 5538

СПбГУ ИТМО2 План доклада 1.Основные определения 2.Общая схема кластеризации 3.Популярные алгоритмы 4.Применения кластеризации

СПбГУ ИТМО3 Что такое кластеризация? Кластеризация – это автоматическое разбиение элементов некоторого множества (объекты, данные, вектора характеристик) на группы (кластеры) по принципу схожести.

СПбГУ ИТМО4 Кластеризация (пример)

СПбГУ ИТМО5 Разница между кластеризацией и классификацией Кластеризация (unsupervised classification) разбивает множество объектов на группы, которые определяются только ее результатом. Классификация (supervised classification) относит каждый объект к одной из заранее определенных групп.

СПбГУ ИТМО6 Зачем нужна кластеризация? Много практических применений в информатике и других областях: Анализ данных (Data mining); Группировка и распознавание объектов; Извлечение и поиск информации. Это важная форма абстракции данных. Это активно развивающаяся область теоретической информатики.

СПбГУ ИТМО7 Формальные определения Вектор характеристик (объект) x – единица данных для алгоритма кластеризации. Обычно это элемент d-мерного пространства: x = (x 1, …, x d ). Характеристика (атрибут) x i – скалярная компонента вектора x. Размерность d – количество характеристик объекта x.

СПбГУ ИТМО8 Формальные определения (продолжение) Множество объектов X = {x 1, …, x n } – набор входных данных. i-й объект из X определяется как x i = (x i,1, …, x i,d ). Часто X представляют в виде матрицы характеристик размера n x d. Кластер – подмножество «близких друг к другу» объектов из X. Расстояние d(x i, x j ) между объектами x i и x j – результат применения выбранной метрики (или квази-метрики) в пространстве характеристик.

СПбГУ ИТМО9 Постановка задачи Цель кластеризации – построить оптимальное разбиение объектов на группы: разбить N объектов на k кластеров; просто разбить N объектов на кластеры. Оптимальность может быть определена как требование минимизации среднеквадратической ошибки разбиения:

СПбГУ ИТМО10 План доклада 1.Основные определения 2.Общая схема кластеризации 3.Популярные алгоритмы 4.Применения кластеризации

СПбГУ ИТМО11 Общая схема кластеризации 1.Выделение характеристик 2.Определение метрики 3.Разбиение объектов на группы 4.Представление результатов

СПбГУ ИТМО12 Выделение характеристик 1.Выбор свойств, характеризующих объекты: количественные характеристики (координаты, интервалы…); качественные характеристики (цвет, статус, воинское звание…). 2.Уменьшение размерности пространства, нормализация характеристик. 3.Представление объектов в виде характеристических векторов.

СПбГУ ИТМО13 Выбор метрики Метрика выбирается в зависимости от: пространства, где расположены объекты; неявных характеристик кластеров. Если все координаты объекта непрерывны и вещественны, а кластеры должны представлять собой нечто вроде гиперсфер, то используется классическая метрика Евклида (на самом деле, чаще всего так и есть):

СПбГУ ИТМО14 План доклада 1.Основные определения 2.Общая схема кластеризации 3.Популярные алгоритмы 4.Применения кластеризации

СПбГУ ИТМО15 Алгоритмы кластеризации Иерархические алгоритмы Минимальное покрывающее дерево k-Means алгоритм (алгоритм k-средних) Метод ближайшего соседа Алгоритмы нечеткой кластеризации Применение нейронных сетей Генетические алгоритмы Метод закалки

СПбГУ ИТМО16 Алгоритмы кластеризации (схема)

СПбГУ ИТМО17 Классификация алгоритмов Строящие «снизу-вверх» и «сверху-вниз» Монотетические и политетические Непересекающиеся и нечеткие Детерминированные и стохастические Потоковые (online) и не потоковые Зависящие и не зависящие от начального разбиения Зависящие и не зависящие от порядка рассмотрения объектов

СПбГУ ИТМО18 Иерархические алгоритмы Результатом работы является дендограмма (иерархия), позволяющая разбить исходное множество объектов на любое число кластеров. Два наиболее популярных алгоритма, оба строят разбиение «снизу-вверх»: Single-link – на каждом шаге объединяет два кластера с наименьшим расстоянием между двумя наиболее близкими представителями; Complete-link – объединяет кластеры с наименьшим расстоянием между двумя наиболее удаленными представителями.

СПбГУ ИТМО19 Single-link (пример)

СПбГУ ИТМО20 Сравнение Single-link и Complete-link

СПбГУ ИТМО21 Минимальное покрывающее дерево Позволяет производить иерархическую кластеризацию «сверху-вниз»:

СПбГУ ИТМО22 k-Means алгоритм 1.Случайно выбрать k точек, являющихся начальными «центрами масс» кластеров (любые k из n объектов, или вообще k случайных точек). 2.Отнести каждый объект к кластеру с ближайшим «центром масс». 3.Пересчитать «центры масс» кластеров согласно текущему членству. 4.Если критерий остановки алгоритма не удовлетворен, вернуться к шагу 2.

СПбГУ ИТМО23 k-Means алгоритм (продолжение) В качестве критерия остановки обычно выбирают один из двух: Отсутствие перехода объектов из кластера в кластер на шаге 2; Минимальное изменение среднеквадратической ошибки. Алгоритм чувствителен к начальному выбору «центров масс».

СПбГУ ИТМО24 Метод ближайшего соседа Один из старейших (1978), простейших и наименее оптимальных алгоритмов: Пока существуют объекты вне кластеров { Для каждого такого объекта выбрать ближайшего соседа, кластер которого определен, и если расстояние до этого соседа меньше порога – отнести его в тот же кластер, иначе можно создать новый; Увеличить порог при необходимости; }

СПбГУ ИТМО25 Нечеткая кластеризация Непересекающаяся (четкая) кластеризация относит объект только к одному кластеру. Нечеткая кластеризация считает для каждого объекта x i степень его принадлежности u ik к каждому из k кластеров. F1 = {(1,0.9), (2,0.8), (3,0.7), (4,0.6), (5,0.55), (6,0.2), (7,0.2), (8,0.0), (9,0.0)} F2 = {(1,0.0), (2,0.0), (3,0.0), (4,0.1), (5,0.15), (6,0.4), (7,0.35), (8,1.0), (9,0.9)}

СПбГУ ИТМО26 Схема нечеткой кластеризации 1.Выбрать начальное нечеткое разбиение n объектов на k кластеров путем выбора матрицы принадлежности U размера n x k (обычно ) 2.Используя матрицу U, найти значение критерия нечеткой ошибки (например, ). Перегруппировать объекты с целью ее уменьшения. 3.Пока матрица U меняется, повторять шаг 2.

СПбГУ ИТМО27 Применение нейронных сетей Искусственные нейронные сети (ИНС) легко работают в распределенных системах в силу своей природы. ИНС могут проводить кластеризацию только для объектов с числовыми атрибутами. Настройка весовых коэффициентов ИНС помогает сделать выбор характеристик (этап 1 кластеризации) менее субъективным. Кластеризация с применением самоорганизующихся карт Кохонена эквивалентна алгоритму k-Means.

СПбГУ ИТМО28 Генетические алгоритмы 1.Выбрать начальную случайную популяцию для множества решений. Получить оценку качества для каждого решения (~ 1 / e 2 ). 2.Создать и оценить следующую популяцию решений, используя операторы: выбора – предпочитает хорошие решения; рекомбинации («кроссовер») – создает новое решение из двух существующих; мутации – создает новое решение из случайного изменения существующего. 3.Повторять шаг 2 пока это необходимо.

СПбГУ ИТМО29 Генетические алгоритмы ищут глобальный минимум Большинство популярных алгоритмов оптимизации выбирают начальное решение, которое затем изменяется в ту или иную сторону. Таким образом получается хорошее разбиение, но не всегда – самое оптимальное. Операторы рекомбинации и мутации позволяют получить решения, сильно не похожие на исходные.

СПбГУ ИТМО30 Метод закалки Пытается найти глобальный оптимум, однако работает только с одним текущим решением. 1.Случайно выбрать начальное разбиение P 0 и сосчитать ошибку E P0. Выбрать значения начальной и конечной температур (T 0 > T f ). 2.Выбрать P 1 невдалеке от P 0. Если E P0 > E P1, то утвердить P 1, иначе – P 1, но с вероятностью, зависящей от разницы температур. Повторить выбор соседних разбиений несколько раз. 3.Чуть-чуть «остыть»: T 0 = c * T 0, где c T f – снова на шаг 2, иначе – стоп.

СПбГУ ИТМО31 Какой алгоритм выбрать? Генетические алгоритмы и искусственные нейронные сети хорошо распараллеливаются. Генетические алгоритмы и метод закалки осуществляют глобальный поиск, но метод закалки сходится о-о-очень медленно. Генетические алгоритмы хорошо работают только для одно- (двух-) мерных объектов, зато не требуется непрерывность координат.

СПбГУ ИТМО32 Какой алгоритм выбрать? (продолжение) k-Means быстро работает и прост в реализации, но создает только кластеры, похожие на гиперсферы. Иерархические алгоритмы дают оптимальное разбиение на кластеры, но их трудоемкость квадратична. На практике лучше всего зарекомендовали себя гибридные подходы, где шлифовка кластеров выполняется методом k-Means, а первоначальное разбиение – одним из более сильных методов.

СПбГУ ИТМО33 Априорное использование природы кластеров в алгоритмах Неявное использование: выбор соответствующих характеристик объектов из всех характеристик выбор метрики (метрика Евклида обычно дает гиперсферические кластеры) Явное использование: подсчет схожести (использование для расстояния между объектами из заведомо разных кластеров) представление результатов (учет явных ограничений)

СПбГУ ИТМО34 Кластеризация больших объемов данных Обычно используют k-Means или его гибридные модификации. Если множество объектов не помещается в основную память, можно: проводить кластеризацию по принципу «разделяй и властвуй»; использовать потоковые (on-line) алгоритмы (например, leader, модификация метода ближайшего соседа); использовать параллельные вычисления.

СПбГУ ИТМО35 Разделяй и властвуй (пример)

СПбГУ ИТМО36 Алгоритм Leader (пример)

СПбГУ ИТМО37 Представление результатов Обычно используется один из следующих способов: представление кластеров центроидами; представление кластеров набором характерных точек; представление кластеров их ограничениями.

СПбГУ ИТМО38 План доклада 1.Основные определения 2.Общая схема кластеризации 3.Популярные алгоритмы 4.Применения кластеризации

СПбГУ ИТМО39 Применения кластеризации Анализ данных (Data mining) Упрощение работы с информацией Визуализация данных Группировка и распознавание объектов Распознавание образов Группировка объектов Извлечение и поиск информации Построение удобных классификаторов

СПбГУ ИТМО40 Анализ данных (Data mining) Упрощение работы с информацией: достаточно работать только с k представителями кластеров; легко найти «похожие» объекты – такой поиск применяется в ряде поисковых движков ( …); автоматическое построение каталогов. Наглядное представление кластеров позволяет понять структуру множества объектов в пространстве.

СПбГУ ИТМО41 (пример)

СПбГУ ИТМО42 Группировка и распознавание объектов Распознавание образов (OCR и др.): 1.построение кластеров на основе большого набора учебных данных; 2.пометка каждого из кластеров; 3.ассоциация каждого объекта на входе алгоритма распознавания с меткой соответствующего кластера. Группировка объектов: сегментация изображений; уменьшение количества информации.

СПбГУ ИТМО43 Сегментация изображений (пример)

СПбГУ ИТМО44 Извлечение и поиск информации (на примере книг в библиотеке) LCC (Library of Congress Classification): Метки с QA76 до QA76.8 – книги по CS. Проблемы LCC: книга относится только к одной категории; классификация отстает от быстрого развития некоторых областей науки. Выручает автоматическая кластеризация: Нечеткое разбиение на группы решает проблему одной категории; Кластеры вырастают с развитием области.

СПбГУ ИТМО45 Итого Кластеризация – это автоматическое разбиение множества объектов на группы по принципу схожести Общая схема кластеризации одна (выделение характеристик -> выбор метрики -> группировка объектов -> представление результатов). Но существует много различных реализаций этой схемы. Кластеризация данных широко применяется в современной информатике.

СПбГУ ИТМО46 Спасибо! ВОПРОСЫ?