Развитие креативного мышления в процессе обучения математике

Проблема выбора пути решения – это одна из важнейших методологических и логических характеристик исследовательского процесса Следует различать такие пути, такие намерения, идеи, которые ведут к решению с одной стороны и такие, которые оказываются тупиковыми, с другой. Парадоксальность исследовательского процесса состоит в том, что те и другие активизируют и стимулируют поисковую деятельность, побуждают исследователя к осуществлению тех или иных действий, которые в той или иной степени могут все - таки оказаться продуктивными.

Педагогически неверно давать задачу с требованием решить ее именно таким способом, если возможен иной, более короткий и красивый и не очень замаскированный способ ее решения.

Среди решений системы найдите те, при которых выражение принимает наибольшее значение.

Геометрия

Уравнения системы твердо ассоциируются с теоремой Пифагора, что приводит к рассмотрению двух прямоугольных треугольников с гипотенузами 3 и 4.

Неравенство системы ассоциируется в таком случае с некоторыми геометрическими фигурами, подобными приведенной на рисунке. Однако пути решения не видно.

Тригонометрия

Учитывая, что, и то, что получим, что, т. е. рассматриваемые нами треугольники подобны. Получим, что и максимальное значение достигается, если Тогда :

Теория чисел.

Теорема Эйлера. Произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма двух квадратов, также представимо в виде суммы двух квадратов. Формула Эйлера.

Имеем, что, и, таким образом, получаем, что Из уравнений системы получим, что Последнее выражение достигает максимума при

Подставив найденное значение, получим, что и одновременно находим искомые значения К решению задачи нас привел непростой, сложный путь. Однако после этого вдруг может стать ясно, что к тому же результату ведет и более короткий путь, но его нахождение требует гораздо большей знаниевой оснащенности

Размышление о поиске пути решения в яркой форме выразил Г. Гельмгольц : « Я могу сравнить себя с путником, который предпринял восхождение на гору, не зная дороги ; долго и с трудом взбирается он, часто должен возвращаться назад, ибо дальше нет прохода. То размышление, то случай открывают ему новые тропинки, они ведут его несколько далее, и, наконец, когда цель достигнута, он, к своему стыду, находит широкую дорогу, по которой мог бы подняться, если бы умел верно отыскать начало »

Векторы

Рассмотрим векторы Система запишется в виде Но из величины скалярного произведения имеем, что, откуда следует, что векторы коллинеарны и сонаправлены.

Отложив векторы от начала координат и обозначив угол, составленный векторами с осью абсцисс, снова получим, что Как и в предыдущих случаях получим, что

Спасибо за внимание В. Мирошин