«Определение производной. Геометрический смысл производной. Приложение производной к решению задач » Выполнили: Лысова О.Н. Кенжимбетова Г.У. Кенжимбетова Г.У

Отгадайте ключевое слово урока 1) С ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ; 2) Ньютон назвал ее «флюксией» и обозначал точкой; 3) Бывает первой, второй,… ; 4) Обозначается штрихом.

Исторические сведения Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XV11 веке. Независимо друг от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали основные элементы дифференциального исчисления. «Метод флюкций». Так Ньютон назвал свою работу, посвященную основным понятиям математического анализа. Функцию Ньютон назвал флюентой, а производную – флюкцией. Обозначения Ньютона для производных - х* (с точкой) и у* - сохранились в физике до сих пор. Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии.

Сформулируйте определение производной. Если существует предел этого отношения при Δ х0, то указанный предел называется производной функции у = f(х) в точке хº. у = f(х) в точке хº.

В чём заключается геометрический смысл производной? Геометрический смысл производной: f '(а) – это угол наклона касательной к графику функции f(х) в точке а. Геометрический смысл производной: f '(а) – это угол наклона касательной к графику функции f(х) в точке а. f '(а) = tgα=k

Правила дифференцирования (u+v)' = u'+v' (ku)' = ku' (uv)' =u'v+uv' (u/v)' =(u'v-uv') / v²

Уравнение касательной y = f(a) + f '(a)(x-a) Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции у = f (x) Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции у = f (x) 1.Обозначить абсциссу точки касания буквой а. 2.Вычислить f(a). 3.Найти f(x) и вычислить f(a). 4.Подставить найденные числа а, f (a), f' (a) в формулу.

Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значения функцииy=f(x) на отрезке [a; b] 1. Найдите производную. 2. Найдите стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [a;b ]. 3. Вычислить значения функции y=f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b;выбрать среди этих значений наименьшее и наибольшее.

При исследовании свойств функции следует найти При исследовании свойств функции следует найти Область определения функции Производную Критические точки функции (производная равна 0 или не существует) Промежутки возрастания и убывания Точки экстремума и сами экстремумы.

Найти производную

Исследуем функцию с помощью графика производной Сколько промежутков убывания имеет функция? Назовите наибольшую из длин промежутков возрастания функции. Назовите точки минимума, точки максимума. Назовите точку, в которой функция имеет наибольший угловой коэффициент касательной. Назовите количество точек, в которых касательная к графику функции наклонена под углом 45º к оси Х.

«Что бы это значило?»

(-7;1)1 (1;1,5) f(x) +0- ?4? ?

Приложения производной Применении производной в геометрии(касательная к графику функции). Применении производной в физике и технике. Применение производной к исследованию функции. Применение производной к решению задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Построение касательной и нормали к графику функции у = f(x) в точке Мٍ(а ٍ;f (аٍٍ))ٍ y = f(a) + f '(a)(x-a) –уравнение касательной y - f(a) = - 1/ f '(a)*(x-a) –уравнение нормали Упражнение 1. Упражнение 1. Написать уравнение касательной и нормали к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой а=1. Решение: Решение: f(x)=x –x, а=1 f(x)=x –x, а=1 f (x)=3x -1 f (a) = 3*1-1 = 2 f(a) = 0 y - 0 = 2(x-1) y = 2x- 2 – уравнение касательной y - 0 = -1/2 * (х-1) y = -1/2x+1/2 – уравнение нормали Ответ: y = 2x- 2, y = -1/2x+1/2

Групповая работа

Задание 1 группы Задача 1. Тело массой m кг движется по закону х(t) ( х – в метрах, t – в секундах). Найдите силу, действующую на тело в момент времени t0, если m=3, t0 = 2, х(t)=0.25 t4 +1\3 t3 - 7 t + 2. Задача 2. Материальная точка движется по закону х(t)=- t3 +6 t2 +5 t ( х – в метрах, t – в секундах). Определите скорость точки в момент, когда ее ускорение равно нулю.

Задание 2 группы Составить уравнение общих касательных к кривым f(x)=х² +4х +8 и g(x) = х² + 8х + 4

«Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение». Ф.Энгельс

Задание для всех групп Что вы можете сказать о производной функции, которую описывает поговорка «Чем дальше в лес, тем больше дров»? Каким может быть график функции, которая соответствует поговорке «Больше меры конь не скачет»?

Домашнее задание составить тест по теме «Применение производной». Задания могут быть с выбором ответа или с кратким ответом, например: Найти производную Найти производную Найти точки максимума или минимума Найти точки максимума или минимума Найти промежутки возрастания или убывания Найти промежутки возрастания или убывания Найти наибольшее значение функции и т.д Найти наибольшее значение функции и т.д