Руководитель: доктор физ.-мат. наук, доцент, профессор кафедры численных методов и программирования Волков Василий Михайлович БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Следующий слайд Жердецкий Алексей Александрович

Уравнение Пуассона хорошо описывает физику некоторых процессов, происходящих в организме человека. Последние достижения в изучении проблем электротомографии как альтернативного способа исследования тканей головного мозга сводятся к решению прямой и обратной задач для уравнения Пуассона, описывающего пространственное распределение потенциала. Новые методы электротомографических исследований могут оказаться на несколько порядков экономичнее уже существующих (например, рентгенотомографии) и не требуют применения дорогостоящего оборудования. Следующий слайдПредыдущий слайд

Построение экономичных итерационных методов решения неоднородного уравнения Пуассона в цилиндрической системе координат для прямой задачи электроэнцефалографии. Проверка эффективности построенных методов (скорость сходимости и количество вычислительных затрат) в работе на реальных моделях. Следующий слайдПредыдущий слайд

Следующий слайдПредыдущий слайд Объектом исследования является цилиндр со встроенными электродами. Цилиндр заполняется солевым раствором (salt water) с электрической проводимостью 1.3 сименс/метр. В этот цилиндр могут помещаться физические тела с различной проводимостью. На два электрода подается ток и снимаются показания на других электродах. - +

Следующий слайдПредыдущий слайд Прямая задача может быть сформулирована следующим образом: по снятым на электродах значениям токов, геометрическим размерам и электрической проводимости исследуемого тела определить распределение потенциала по поверхности цилиндра. Математически задача сводится к решению неоднородного уравнения Пуассона. В цилиндрических координатах оно запишется следующим образом: На границе области задаются краевые условия Дирихле:

Следующий слайдПредыдущий слайд Исследуемая цилиндрическая область заменяется на цилиндрическую сетку и задача решения исходного уравнения с заданными краевыми условиями сводится к ее дискретному аналогу.

Следующий слайдПредыдущий слайд Упорядочение точек цилиндрической сетки происходит, как показано на рисунке. После заполнения самого нижнего слоя нумерация переносится на второй слой и т. д. вплоть до исчерпания всех слоев.

Следующий слайдПредыдущий слайд Разреженная матрица, полученная после конечно-разностной аппроксимации исходного уравнения Пуассона и естественного упорядочения неизвестных. Аппроксимация имеет второй порядок точности.

Система линейных алгебраических уравнений с разреженной матрицей решается методом бисопряженных градиентов. Для увеличения скорости сходимости строятся переобуславливатели Якоби и Фурье. Далее на работе модельной задачи сравниваются результаты с применением этих переобуславливателей. Изначально предполагается, что решение системы методом бисопряженных градиентов с переобуславливателем Фурье требует меньшего числа итераций в сравнении работы этого же метода с переобуславливателем Якоби. Следующий слайдПредыдущий слайд

Следующий слайдПредыдущий слайд Решение линейной системы для модельной задачи на сетке с помощью встроенной в Matlab 8.0 функции bicg с переобуславливателем Фурье требует 34 итерации для точности. Задача тестировалась и для других сеток. Число итераций практически не зависит от размерности сетки, что дает основание на то, что тестируемый солвер достаточно эффективен для сеток с большим числом узлов.

Контурный график величин потенциалов для цилиндрического слоя с одной подключенной парой электродов. Следующий слайдПредыдущий слайд

Следующий слайдПредыдущий слайд Контурный график величин потенциалов для цилиндрического слоя с другой подключенной парой электродов.

Построение новых быстрых итерационных методов решения неоднородного уравнения Пуассона, как-то метод бисопряженных градиентов с переобуславливателем Фурье, может иметь прикладное применение в медицине, в частности поможет решать обратную задачу электроэнцефалографии, состоящую из многократного решения прямой задачи. Следующий слайдПредыдущий слайд

Неоднородное уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат. Матрицы линейных систем для прямой модельной задачи. Метод бисопряженных градиентов с переобуславливателем Фурье для решения прямой модельной задачи. Эффективность исследуемого метода. Следующий слайдПредыдущий слайд

Спасибо за внимание! Завершить показНачать заново