ВИЕТ Франсуа ( ), французский математик. Разработал почти всю элементар- ную алгебру. Известны «формулы Виета», дающие зависимость между корнями и коэф- фициентами алгебра- ического уравнения. Ввел буквенные обо- значения для коэффи- циентов в уравнениях.

С помощью введённого им буквенного исчисления Франсуа Виет не только записал в об- щем виде формулы для корней квадратного уравнения, но и нашёл выражение для коэффи- циентов уравнения через его корни, которое сейчас называ- ется теоремой Виета:

Теорема Виета: Если х 1 и х 2 корни квадратного уравнения х 2 +px + q = 0, то х 1 + х 2 = -p, а х 1. х 2 = q.

Буквенное исчисление позволяет доказывать теоремы с помощью алгебраических преобразований. Мы знаем, что при D 0 корни квадратного уравнения находятся по формуле:

Теперь достаточно аккуратно выполнить алгебраические преобразования и теорема Виета будет доказана:

Обратим внимание ещё на одно интересное соотношение дискриминант уравнения равен квадрату разности его корней: D = (х 1 х 2 )2

Из теоремы Виета вытекает, что приведённый квадратный трёхчлен с корнями х 1 и х 2 можно записать в виде (х х 1 )(х х 2 ). Действительно, раскрывая скобки в этом произведении, получаем выражение х 2 (х 1 + х 2 ) х + х 1 х 2 = х 2 + рх + q.

И наоборот, это разложение на множители можно использовать для доказательства теоремы Виета без вычислений. В самом деле,пусть дан квадратный трёхчлен х 2 + рх + q, а х 1 и х 2 - его корни. Замечаем, что (х х 1 )(х х 2 ) = х 2 (х 1 + х 2 ) х + х 1 х 2 есть приведённый квадратный трёхчлен с теми же корнями х 1 и х 2,что и данный.

Разность двух трёхчленов равна (p + х 1 + х 2 ) х + (q х 1 х 2 ). Это линейная функция относительно x. Причём поскольку оба многочлена обращаются в нуль в точках х 1 и х 2,то и их разность обращается в нуль в тех же точках.

Для линейной функции это возможно только в том случае, если она тождественно равна нулю. Отсюда вытекает, что p = - ( х 1 + х 2 ), а q = х 1. х 2 (теорема Виета).

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ЗАДАЧА Эту задачу предлагали решить поступающим в Московский университет на физический факультет. Уравнение аx 2 + bx + 2 = 0, где а < 0, имеет одним из своих корней число 3. Решите уравнение ах 4 + bх = 0. Решение. Применим теорему Виета к первому уравнению: x 1 x 2 = Так как x 1 = 3, то x 2 =, следовательно, x 2 < 0. Обозначим x 2 = t, тогда второе уравнение примет вид аt 2 + bt + 2 = 0.

Сравнив это уравнение с исходным, получим t 1 =3; t 2 =, t 2