Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Тема: Дифференциальное исчисление

Глава II.Дифференциальное исчисление функции одной переменной Дифференциальное исчисление – раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применение к исследованию функций. §3. Производная функции 1. Определение производной функции. Необходимое условие существования производной Пусть y = f(x) определена в точке x 0 и некоторой ее окрестности. Придадим x 0 приращение x такое, что x 0 + x D(f). Функция при этом получит приращение f(x 0 ) = f(x 0 + x) – f(x 0 ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента x, при x 0 (если этот предел существует и конечен), т.е. Обозначают: Производной функции y = f(x) в точке x 0 справа (слева) называется (если этот предел существует и конечен). Обозначают: – производная y = f(x) в точке x 0 справа, – производная y = f(x) в точке x 0 слева.

ТЕОРЕМА 1 (необходимое и достаточное условие существо- вания производной). Функция y = f(x) имеет производную в точке x 0 в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие существования производ- ной функции в точке). Если функция y = f(x) имеет производную в точке x 0, то функция f(x) в этой точке непрерывна. Замечание. Непрерывность функции в точке x 0 не является достаточным условием существования в этой точке производной функции. Например, функция y = | x | непрерывна на всей области опре- деления, но не имеет производной в точке x 0 = 0.

Соответствие x 0 f (x 0 ) является функцией, определенной на множестве D 1 D(f). Ее называют производной функции y = f(x) и обозначают Операцию нахождения для функции y = f(x) ее производной функции называют дифференцированием функции f(x).

2. Физический и геометрический смысл производной 1) Физический смысл производной. Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная f (x) – скорость изменения величины y относительно величины x. ПРИМЕРЫ. а)Пусть S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t. Тогда производная S (t 0 ) – скорость в момент времени t 0. б)Пусть q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t. Тогда q (t 0 ) – скорость изменения количества электричества в момент времени t 0, т.е. сила тока в момент времени t 0. в)Пусть m = m(x) – масса отрезка [a ; x]. Тогда m (x) – скорость изменения массы в точке x 0, т.е. линейная плотность в точке x 0.

2) Геометрический смысл производной. Пусть – некоторая кривая, M 0 – точка на кривой. Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках, называется секущей. Касательной к кривой в точке M 0 называется предельное положение секущей M 0 M 1, если точка M 1 стремится к M 0, двигаясь по кривой. Очевидно, что если касательная к кривой в точке M 0 существует, то она единственная.

Рассмотрим кривую y = f(x). Пусть в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) она имеет невертикальную касатель- ную M 0 N. Имеем: tgβ = f (x 0 ) – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )). (геометрический смысл производной функции в точке). Уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) можно записать в виде

Замечания. 1)Прямая, проходящая через точку M 0 перпендикулярно касательной, проведенной к кривой в точке M 0, называется нормалью к кривой в точке M 0. Т.к. для угловых коэффициентов перпендикулярных прямых справедливо равенство k 1 k 2 = –1, то уравнение нормали к y = f(x) в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) будет иметь вид, если f (x 0 ) 0. Если f (x 0 ) = 0, то касательная к кривой y = f(x) в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) будет иметь вид y = f(x 0 ), а нормальx = x 0.

3. Правила дифференцирования 1)Производная константы равна нулю, т.е. C = 0, где С – константа. 2)Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, т.е. 3)Производная произведения находится по правилу: Замечание. Формула дифференцирования произведения может быть легко обобщена на случай большего числа множителей. Например,

, где С – константа. Говорят: «константа выносится за знак производной». 5) Производная дроби находится по правилу: 6) Если функция (t) имеет производную в точке t, а функция f(u) имеет производную в точке u = (t), то сложная функция y = f( (t)) имеет производную в точке t, причем (правило дифференцирования сложной функции). 7) ТЕОРЕМА 3 (о производной обратной функции). Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке x 0, причем f (x 0 ) 0. Если существует обратная функция x = (y), то она имеет производную в точке y 0 = f(x 0 ) и

По определению и с помощью правил дифференцирования находят производные основных элементарных функций (так называемая «таблица производных», см. методичку). Производная любой элементарной функции находится с помощью таблицы производных и правил дифференци- рования.

§4. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется дифференци- руемой в точке x 0, если ее приращение в этой точке может быть записано как сумма линейной относительно x части и бесконечно малой более высокого порядка чем x, т.е. f(x 0 ) = A x + ( x),(1) где A – число, ( x) – б.м. более высокого порядка чем x. Слагаемое A x в выражении (1) (т.е. линейную относи- тельно x часть f(x 0 )) называют дифференциалом функции y = f(x) в точке x 0 и обозначают: dy(x 0 ), df(x 0 ).

ТЕОРЕМА 1 (о связи дифференцируемости с существованием производной). Функция y = f(x) дифференцируема в точке x 0 она имеет в точке x 0 производную. При этом для ее дифференциала в точке x 0 справедливо равенство dy(x 0 ) = f (x 0 ) x.(2) Соответствие (x 0 ; x) df(x 0 ) является функцией (2-х перемен- ных). Ее называют дифференциалом функции y = f(x) и обозначают dy, df(x).

Замечание. Из теоремы 1 следует, что нахождение производной и дифференциала функции представляет собой по существу одну и ту же задачу. Поэтому операцию нахождения производной называют дифференцированием функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется дифференци- руемой на интервале (a;b) если она дифференцируема (т.е. имеет производную) в каждой точке этого интервала. Функция y = f(x) называется дифференцируемой на отрез- ке [a;b] если она дифференцируема на интервале (a;b) и имеет соответствующие односторонние производные в точках a и b.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть функция y = f(x) дифференцируема в точке x 0. Тогда в x 0 функция f(x) имеет производную f (x 0 ). в точке M 0 (x 0 ; f(x 0 )) касательная к кривой y = f(x). Дифференциал функции y = f(x) в точке x 0 равен приращению ординаты точки на касательной к кривой y = f(x), которое соответствует приращению x.

Замечания. 1) Так как для дифференциала функции y = x справедливо dy = dx = x, то говорят: «дифференциал независимой переменной равен ее приращению». Учитывая этот факт, формулу (2) можно переписать в виде dy = f (x) dx.(3) 2) Из формулы (3) получаем, что производная y = f (x) явля- ется отношением 2-х дифференциалов: Таким образом, символическая дробь превратилась в реальную дробь.

2. Свойства дифференциалов Из теоремы 1 и правил дифференцирования получаем, что справедливы следующие утверждения 1)Дифференциал константы равна нулю, т.е. d(C) = 0, где C – константа. 2)Дифференциал суммы (разности) равна сумме (разности) дифференциалов, т.е. d(u v) = du dv. 3)Дифференциал произведения находится по правилу: d(u v) = du v + u dv. 4) d(C u) = C du, где C – константа. Говорят: «константа выносится за знак дифференциала». 5) Дифференциал дроби находится по правилу:

6) Формула dy = f (x) dx справедлива не только в том случае, когда x является независимым аргументом, но и в случае, когда x – функция. Поэтому формулу dy = f (x) dx называют инвариантной формой записи дифференциала. Замечание. Формула dy = f (x) x (2) не является инвариантной. Т.е. она не будет справедлива, если x – функция.

§5. Производные и дифференциалы высших порядков 1. Производные высших порядков Пусть y = f(x) дифференцируема на множестве X 1 D(f). Тогда на X 1 определена f (x). Функцию f (x) называют также первой производной функции f(x) (или производной первого порядка функции f(x)). Если f (x) дифференцируема на некотором множестве X 2 X 1, то (f (x)) называют второй производной функции y = f(x) (или производной второго порядка функции f(x) ) и обозначают Замечание. Значение второй производной функции f(x) в точке x 0 обозначают

Если f (x) тоже дифференцируема на некотором множестве X 3 X 2, то ее производную (f (x)) называют третьей про- изводной функции y = f(x) (или производной третьего порядка функции f(x)). Продолжая этот процесс, назовем n-й производной функции y = f(x) ее производную от производной порядка n – 1. Обозначают: – третья производная y = f(x); – четвертая производная y = f(x); – n-я производная y = f(x). Производные порядка n > 1 называют производными высших порядков.

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ второй производной. Если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то S (t 0 ) – скорость в момент времени t 0, S (t 0 ) – ускорение в момент времени t 0 (скорость изменения скорости) Справедливы следующие утверждения. 1) (C u) (n) = C u (n), где C – константа. Говорят: «константа выносится за знак n-й производной». 2)Производная n-го порядка суммы (разности) функций равна сумме (разности) n-х производных слагаемых, т.е. (u v) (n) = u (n) v (n). 3)n-я производная произведения находится по формуле Лейбница : где u (0) = u, v (0) = v.

2. Дифференциалы высших порядков Пусть y = f(x) дифференцируема на множестве X 1 D(f). Дифференциал dy = f (x) dx – функция двух переменных x и dx = x. Зафиксируем значение dx. Тогда dy станет функцией одной переменной x. Дифференциал функции dy(x) (если он существует) называется дифференциалом второго порядка функции y = f(x) (или вторым дифференциалом функции y = f(x)) и обозначается d 2 y, d 2 f(x). d 2 y – функция переменной x. Дифференциал функции d 2 y (если он существует) называют дифференциалом третьего порядка функции y = f(x) (или третьим дифференциалом функции y = f(x)) и обозначается d 3 y, d 3 f(x).

Продолжая далее этот процесс, определим дифференциал n-го порядка функции y = f(x) как дифференциал от диффе- ренциала порядка n – 1. Обозначают: d n y, d n f(x). Замечание. Значение дифференциала n-го порядка функции f(x) в точке x 0 обозначают d n y(x 0 ), d n f(x 0 ). Дифференциалы порядка n > 1 называют дифференциалами высших порядков. Если функция имеет дифференциал порядка n, то ее называют n раз дифференцируемой. ТЕОРЕМА 1 (о связи дифференциала n-го порядка и n-й производной). Функция y = f(x) n раз дифференцируема в точке x 0 она имеет в точке x 0 производную порядка n. При этом для d n y(x 0 ) справедливо равенство d n y(x 0 ) = f (n) (x 0 ) (dx) n.(2)

Замечания. 1)Скобки в правой части формулы (2) обычно опускают, т.е. записывают ее в виде: d n y(x 0 ) = f (n) (x 0 ) dx n.(3) 2) Из формулы (3) получаем, что n-я производная y (n) = f (n) (x) является отношением 2-х дифференциалов: Таким образом, символическая дробь превратилась в реальную дробь. 3)Дифференциалы порядка n (n > 1) не обладают свойством инвариантности. Т.е. формула (3) не будет верной, если x – функция.

§6. Использование производной при вычислении пределов ТЕОРЕМА 1 (Правило Лопиталя). Пусть x 0 ̄ и выполняются следующие условия: 1)функции f(x) и (x) определены и непрерывны в некоторой -окрестности x 0, за исключением возможно самой x 0 ; 2) 3) функции f(x) и (x) дифференцируемы в U*(x 0, ), причем (x) 0, x U*(x 0, ). Тогда, если (конечный или бесконечный), топричем эти два предела будут равны. Т.е.

Замечания. 1) Если f (x) и (x) тоже являются б.м. (б.б.) при x x 0, то правило Лопиталя можно применить повторно. 2) Если не существует, то правило Лопиталя непри- менимо. При этом может существовать. ПРИМЕР. Найти

§7. Исследование функций и построение графиков 1. Возрастание и убывание функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется возрастающей (неубывающей) на интервале (a;b) если x 1,x 2 (a;b) таких, что x 1 < x 2 выполняется неравенство f(x 1 ) < f(x 2 ) ( f(x 1 ) f(x 2 ) ). Иначе говоря, функция y = f(x) называется возрастающей на (a;b), если большему значению аргумента из (a;b) соответ- ствует большее значение функции. Функция y = f(x) называется убывающей (невозрастающей) на интервале (a;b) если x 1,x 2 (a;b) таких, что x 1 < x 2 выполняется неравенство f(x 1 ) > f(x 2 ) ( f(x 1 ) f(x 2 ) ). Иначе говоря, функция y = f(x) называется убывающей на (a;b), если большему значению аргумента из (a;b) соответ- ствует меньшее значение функции.

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции. ТЕОРЕМА 1(необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции). Пусть y = f(x) дифференцируема на интервале (a;b). Тогда 1)если y = f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то на этом интервале ее производная неотрицательна (неположи- тельна), т.е. f (x) 0, x (a;b) ( f (x) 0, x (a;b) ); (необходимое условие возрастания (убывания) функции) 2)если f (x) > 0, x (a;b) ( f (x) < 0, x (a;b) ), то функция y = f(x) на (a;b) возрастает (убывает). (достаточное условие возрастания (убывания) функции)

2. Экстремумы функции Пусть x 0 D(f ), x 0 – внутренняя точка D(f ) (т.е. существует не- которая окрестность точки x 0, целиком лежащая во мно- жестве D(f )). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x) если существует такая -окрестность U(x 0, ) точки x 0, что f(x) < f(x 0 ), x U*(x 0, ). Значение функции точке максимума называется максимумом функции. Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x) если существует такая -окрестность U(x 0, ) точки x 0, что f(x) > f(x 0 ), x U*(x 0, ). Значение функции точке минимума называется минимумом функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума. Минимумы и максимумы функции называются ее экстре- мумами.

Замечания: 1) Понятия минимум и максимум функции близки к понятиям наименьшее и наибольшее значения функции. Они показывают, в каком отношении находятся значение функции в точке x 0 и в других точках. Различие – в области действия понятий. Наибольшее и наименьшее значения – понятия глобального характера, максимум и минимум – понятия локального характера. Поэтому в некоторой литературе употребляют термины «глобальный максимум (минимум)» вместо наибольшего (наименьшего) значения функции и «локальный максимум (минимум)» – вместо максимум (минимум) функции.

2)Функция может иметь в своей области определения несколько точек максимума и минимума. Причем, некоторые минимумы функции могут быть больше ее максимумов.

ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие экстремума, теорема Ферма). Пусть x 0 – точка экстремума функции f(x) и f(x) – диф- ференцируема в точке x 0. Тогда f (x 0 ) = 0. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТЕОРЕМЫ 2. Если x 0 – точка экстремума функции f(x) и кривая y = f(x) имеет невертикальную касательную в точке M 0 (x 0,f(x 0 )), то эта касательная – горизонтальная. Точки, в которых производная функции f(x) равна нулю, называются стационарными точками функции f(x).

ТЕОРЕМА 3 (достаточное условие экстремума). Пусть x 0 – внутренняя точка D(f), f(x) непрерывна в U(x 0, ) f(x) дифференцируема в U(x 0, ) или U*(x 0, ). Если при переходе через точку x 0 производная функции f(x) меняет знак, то x 0 является точкой экстремума. При этом, если производная меняет знак с плюса на минус, то x 0 – точка максимума, если с минуса на плюс – то x 0 – точка минимума. Замечание. Из теоремы 3 точками экстремума могут быть не только стационарные точки, но и точки, в которых функция не имеет производной (точки разрыва производной). Стационарные точки функции f(x) и точки, в которых f (x) не существует, называются критическими точками I рода (критическими точками по первой производной).

3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть – кривая, M 0 – точка кривой, причем в M 0 существует невертикальная касательная к. Кривую называют выпуклой в точке M 0, если в некоторой окрестности этой точки кривая лежит ниже касательной, проведенной к в точке M 0. Кривую называют вогнутой в точке M 0, если в некоторой окрестности этой точки кривая лежит выше касательной, проведенной к в точке M 0.

Точки кривой, которые разделяют ее выпуклые и вогнутые участки, называются точками перегиба кривой. Замечания. 1)Выпуклость и вогнутость кривой в точке – локальные понятия. Они определяют относительное расположение точек кривой и касательной вблизи точки касания. В точках, удаленных от точки касания, кривая и касательная могут располагаться произвольным образом. 2)В точке перегиба касательная к кривой (если она существует) пересекает кривую (кривая переходит с одной стороны касательной на другую).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кривая y = f(x) называется выпуклой (вогнутой) на интервале (a;b) если x (a;b) кривая выпукла (вогнута) в соответствующей точке M(x ; f(x)). Замечания. 1)Если M 0 (x 0 ; f(x 0 )) – точка перегиба кривой y = f(x), то x 0 – внутренняя точка области определения функции f(x). 2)Точками перегиба кривой y = f(x) часто называют точки, которые разделяют интервалы выпуклости и вогнутости этой кривой (т.е. абсциссы точек перегиба кривой y = f(x)).

ТЕОРЕМА 5 (необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) графика функции). Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на интервале (a;b). Тогда: 1) если кривая y = f(x) выпукла (вогнута) на интервале (a;b), тоf (x) 0 (f (x) 0), x (a;b) (необходимое условие выпуклости (вогнутости) кривой); 2)если f (x) < 0 (f (x) > 0) x (a;b), то кривая y = f(x) выпукла (вогнута) на интервале (a;b) (достаточное условие выпуклости (вогнутости) кривой).

СЛЕДСТВИЕ 6 (необходимое условие перегиба кривой y = f(x)). Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема в U(x 0, ) (или в U*(x 0, ) ). Если M 0 (x 0 ; f(x 0 )) – точка перегиба кривой y = f(x), то f (x 0 ) = 0 или в точке x 0 функция y = f(x) не имеет второй производной. Замечание. Точки, в которых вторая производная функции y = f(x) обращается в ноль или имеет разрыв, называют иногда критическими точками II рода функции y = f(x) (или критическими точками функции y = f(x) по второй производной). ТЕОРЕМА 7 (достаточное условие перегиба кривой y = f(x)). Пусть x 0 – внутренняя точка D(f ) и функция f(x) дважды дифференцируема в U*(x 0, ). Если при переходе через точку x 0 функция f (x) меняет знак, то точка M 0 (x 0 ; f(x 0 )) является точкой перегиба кри- вой y = f(x).

4. Асимптоты кривой ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая называется асимптотой кривой, если при неограниченном удалении точки M кривой от начала координат расстояние от точки M до прямой стремится к нулю. Замечание. Выделяют два вида асимптот: вертикальные и наклонные. Вертикальные асимптоты кривая y = f(x) не пересекает (почему?), наклонные – может пересекать.

ТЕОРЕМА 8 (необходимое и достаточное условие существова- ния наклонной асимптоты кривой y = f(x)). Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой кривой y = f(x) существуют конечные пределы (или ). Замечания. 1)Из теоремы 8 следует, что график функции y = f(x) может иметь наклонную асимптоту только если функция определена в окрестности + или –. Причем, наклонных асимптот у кривой y = f(x) может быть не более двух: для правой ветви (т.е. при x + ) и для левой ветви (т.е. при x – ). 2)Если, то наклонная асимптота имеет уравнение y = b, т.е. является горизонтальной.

ТЕОРЕМА 9 (необходимое и достаточное условие существова- ния вертикальной асимптоты кривой y = f(x)). Прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x) точка x = a является точкой разрыва II рода функции y = f(x), причем, хотя бы один из односторонних пределов f(a – 0), f(a + 0) равен бесконечности.

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ 1.Найти область определения функции. 2.Исследовать четность и периодичность функции. 3.Исследовать точки разрыва, найти вертикальные асимптоты. 4.Найти наклонные асимптоты (если их существование возможно). 5.Найти точки пересечения графика с осями координат. 6.Найти f (x). Определить точки экстремума, интервалы воз- растания и убывания функции. 7.Найти f (x). Определить точки перегиба графика, интервалы его выпуклости и вогнутости. 8.Построить график функции.