Тема урока: Определение геометрической прогрессии. Формула п- го члена геометрической прогрессии

Выпишем последовательность, соответствующую условию задачи: 1.Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, вес которого за сутки уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи? На восьмые? последовательность: 256; 128; 64; 32; 16; 8; 4; 2; 1;… Как получается второй член последовательности? третий? восьмой? и т.д.

Следующее условие задачи: 2. Бактерия за секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке через 5 секунд? последовательность: 1; 3; 9; 27; 81;… Как получается второй член последовательности? третий? пятый? и т.д.

Выписанные последовательности называются геометрическими прогрессиями. 1.Каким образом образовывались члены данных последовательностей? 2.Какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией?

Определение: Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Т.е. последовательность (b п ) – геометрическая прогрессия, если для любого натурального п выполняются условия b п +1 = b п q, где q – некоторое число.

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е. при любом натуральном п верно равенство b п + 1 = q. b п Число q называют знаменателем геометрической прогрессии

Примеры Если b 1 = 1 и q = 0,1, то получим геометрическую прогрессию 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;… Если b 1 = - 5 и q = 2, то получим геометрическую прогрессию - 5; - 10; - 20; - 40; - 80;… Если b 1 = 2 и q = - 3, то получим геометрическую прогрессию 2; - 6; 18; - 54; 162; … Если b 1 = 8 и q = 1, то получим геометрическую прогрессию 8; 8; 8; 8; 8;…

Т.е. зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти последовательно второй, третий и вообще любой ее член b 2 = b 1 q, b 3 = b 2 q = ( b 1 q) q = b 1 q ², b 4 = b 3 q = ( b 1 q²) q = b 1 q ³, b 5 = b 4 q = ( b 1 q³)q = b 1 q, b 6 = b 1 q, b 7 = ?

Т.е. b п = b 1 q ˉ¹ - формула п-го члена геометрической прогрессии

Свойство геометрической прогрессии: Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов. b п = b п - 1 q, b п +1 = b п q, отсюда следует, что b п = b п +1, b п ² = b п - 1 b п +1. b п – 1 b п