Подготовил: ученик 7Г класса Дмитриев Виктор Андреевич Научный руководитель: Заслуженный учитель РФ, к.п.н. Уласевич О.Н. Муниципальное общеобразовательное учреждение гимназия 12 Липецк, 2009 Номинация «Геометрические миниатюры»

Цель проекта: изучение исторических аспектов темы; доказательство формул сокращенного умножения с помощью геометрии; изучение предмета геометрической алгебры; систематизация полученных данных; создание презентации. Методы и приемы: анализ научной и исторической литературы по проблеме исследования, построение геометрических моделей доказательства формул сокращенного умножения, использование информационно-коммуникационных технологий, качественный анализ результатов.

Историческая справка Использование геометрических чертежей как иллюстрации алгебраических соотношений встречалось еще в Древнем Египте и Вавилоне. Например, при решении уравнений с двумя неизвестными, одно называлось длиной, другое -шириной. Произведение неизвестных называли площадью. В задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина - глубина, а произведение трех неизвестных именовалось объемом. Древние египтяне и вавилоняне излагали свои алгебраические познания в числовой форме. Они не знали ни отрицательных чисел, ни, тем более комплексных и уравнения, не имеющие положительных корней ими не рассматривались. Все задачи и их решения излагались словесно. Геометрический путь, несомненно, был гениальной находкой античных математиков. Но, к сожалению, он сдерживал дальнейшее развитие алгебры. Ведь геометрически можно выразить лишь первые степени (длины), квадратные (площади) и кубы (объемы), но не высшие степени неизвестных. Да и неизвестные в этом случае могут быть только положительными числами. Наконец, вместо алгебраических преобразований приходилось производить геометрические построения, часто очень громоздкие. Чтобы построить неизвестное, иногда нужно было быть подлинным виртуозом - это шло на пользу геометрии, но не алгебре.

Введение Евклид все действия над рациональными числами описывал на «геометрическом» языке: сложение чисел объяснял как сложение отрезков, а их произведение выражал площадью прямых прямоугольника со сторонами, равными данным отрезкам. Так возникла называемая геометрическая алгебра. геометрическая алгебра геометрическая алгебра Числа в геометрической алгебре аналогичны отрезкам прямой, а произведение их аналогично площади геометрической фигуры (прямоугольника или квадрата). Рассмотрим вывод формул сокращенного умножения, выполненный средствами геометрической алгебры. При этом, как будет показано, геометрические доказательства оказываются проще и нагляднее, чем соответствующие алгебраические.

Содержание 1. Введение. 2. Историческая справка. 3. Доказательство формулы (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2. Доказательство формулы (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Доказательство формулы (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 4. Доказательство формулы (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2. Доказательство формулы (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 Доказательство формулы (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 5. Доказательство формулы a 2 -b 2 =(a-b)(a+b). Доказательство формулы a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) Доказательство формулы a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) 6. Доказательство формулы (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3. Доказательство формулы (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 Доказательство формулы (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 7. Доказательство формулы (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3. Доказательство формулы (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3 Доказательство формулы (a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3 8. Доказательство формулы a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ). Доказательство формулы a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ) Доказательство формулы a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ) 9. Доказательство формулы a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab +b 2 ). Доказательство формулы a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab +b 2 ) Доказательство формулы a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab +b 2 ) 10. Выводы. Выводы 11. Информационные источники. Информационные источники Информационные источники

Геометрическое доказательство формулы (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 S1S1S1S1 S2S2S2S2 S3S3S3S3 S4S4S4S4 a b a b Построим квадрат со стороной a, его площадь S 1 = a 2. Продолжим стороны квадрата на отрезок b, получим квадрат со S =(a+b) 2 стороной a+b, площадь которого S =(a+b) 2 Вместе с тем, площадь квадрата со стороной a+b (S) состоит из площади квадрата со стороной a (S 1 ), площади квадрата со стороной b (S 4 ) и двух прямоугольников с площадями ab (S 2, S 3 ). площади квадрата со стороной b (S 4 ) и двух прямоугольников с площадями ab (S 2, S 3 ). Тогда S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 или (a+b) 2 = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2. К содержанию К содержанию

(a+b) 3 = a 3 + b ( a + b )( a + b ) + a (а+ b ) b + аа b = a 3 + b ( a 2 +2а b + b 2 )+ aab +abb+aab= a 3 + a 2 b+ 2а b 2 + b 3 + a 2 b+ а b 2 + a 2 b=a 3 + 3a 2 b+ 3а b 2 + b 3. Геометрическое доказательство формулы (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 V = V 1 + V 2 + V 3 + V 4 К содержанию К содержанию

Геометрическое доказательство формулы (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a b a b b b a - b Построим квадрат со стороной a, его площадь S = a 2. Отложим на сторонах квадрата отрезок b, получим квадрат со S 1 =(a - b) 2 а-b, площадь которого S 1 =(a - b) 2 Проведем отрезки, соединяющие концы отрезков a-b и b на каждой из сторон. S1S1S1S1 S2S2S2S2 S3S3S3S3 S4S4S4S4 Площадь квадрата со стороной a (S) состоит из площади квадрата со стороной a-b (S 1 ), площади квадрата со стороной b (S 4 ) и двух прямоугольников с площадями (a-b)b (S 2, S 3 ). Площадь квадрата со стороной a (S) состоит из площади квадрата со стороной a-b (S 1 ), площади квадрата со стороной b (S 4 ) и двух прямоугольников с площадями (a-b)b (S 2, S 3 ). Тогда S 1 = S - S 2 - S 3 - S 4 или (a-b) 2 = a 2 - (a-b)b - (a-b)b - b 2 = a 2 – ab + b 2 – ab + b 2 - b 2 = a 2 - 2ab + b 2. a 2 - 2ab + b 2. К содержанию К содержанию

Геометрическое доказательство формулы a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) a a - b b a S1S1S1S1 S2S2S2S2 S3S3S3S3 b Построим квадрат со стороной a и разделим его на квадрат со стороной b и два прямоугольника со сторонами a-b, a и a-b, b, соответственно. a - b Площадь фигуры, определяемая как разность площади квадрата со стороной a (S) и площади квадрата со стороной b (S 1 ) равна сумме площадей прямоугольников со сторонами a-b, a (S 2 ) и a-b, b (S 3 ). a-b, a (S 2 ) и a-b, b (S 3 ). Тогда S - S 1 = S 2 + S 3 или a 2 – b 2 = (a - b)a + (a - b)b = (a - b)(a + b). К содержанию К содержанию

Геометрическое доказательство формулы (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 V = V 1 – V 2 – V 3 – V 4 (a-b) 3 = a 3 -baa-(a-b)ba-(a-b)(a-b)b = = a 3 -a 2 b-(a 2 b-b 2 a)-(a 2 -2ab+b 2 )b = = a 3 -a 2 b-a 2 b+ab 2 -a 2 b+2ab 2 -b 3 = = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3. V – объем куба со стороной a-b V1 – объем куба со стороной a V2 –объем параллелепипеда a,b,а V3- объем параллелепипеда a- b,b,а V4- объем параллелепипеда a- b, a- b, b К содержанию К содержанию

Геометрическое доказательство формулы a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) V 1 – V 2 = V 3 + V 4 + V 5 a 3 -b 3 = (a-b)aa+(a-b)ab+(a-b)bb = = (a-b)(a 2 +ab+b 2 ). V1 – объем куба со стороной a V2 - объем куба со стороной b V3–объем параллелепипеда a- b,а, а V4- объем параллелепипеда a- b,b,а V4 - объем параллелепипеда a- b,b,а V5- объем параллелепипеда a- b,b, b V5 - объем параллелепипеда a- b,b, b К содержанию К содержанию

Геометрическое доказательство формулы a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) V 1 + V 2 = V 3 – V 4 – V 5 a 3 +b 3 = (a+b)aa-(a-b)bb-(a-b)ab = = a 2 (a+b)-b 2 (a-b)-ab(a-b) = = a 2 (a+b)-b(a-b)(a+b) = = (a+b)(a 2 -ab+b 2 ). V1 – объем куба со стороной a V2 - объем куба со стороной b V3–объем параллелепипеда a+b,а, а V4- объем параллелепипеда a- b,b, b V4 - объем параллелепипеда a- b,b, b V5- объем параллелепипеда a- b,а, b V5 - объем параллелепипеда a- b,а, b К содержанию К содержанию

Выводы 1. Доказательство формул сокращенного умножения можно выполнить средствами геометрической алгебры. 2. Геометрические доказательства существенно проще и нагляднее, чем соответствующие алгебраические. 3. C помощью таких геометрических объектов, как отрезки, прямоугольники, параллелепипеды, удалось доказать формулы сокращенного умножения. К содержанию К содержанию

Информационные источники Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. Справочник по математике. М.: ВШ, – 554 с. Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. Справочник по математике. М.: ВШ, – 554 с. [Геометрическая алгебра]. [Геометрическая алгебра]. [Агафонов В.В. Аналогия в математике]. [Агафонов В.В. Аналогия в математике]. К содержанию К содержанию

Геометрическая алгебра В геометрической алгебре величины стали изображать с помощью отрезков и прямоугольников. Сложение отрезков осуществлялось путем приставления одного из них к другому вдоль прямой, вычитание - путем отсечения от большего отрезка части, равной меньшему отрезку. Умножение осуществлялось путем построения прямоугольника на соответствующих отрезках. Деление приводило к понижению размерности и выполнялось с помощью все того же приложения площадей. Деление приводило к понижению размерности и выполнялось с помощью все того же приложения площадей. Складывать можно было только однородные величины: отрезки с отрезками, прямоугольники с прямоугольниками. Во втором случае возникали трудности, ибо для объединения двух прямоугольников в один необходимо, чтобы у них была пара одинаковых сторон. К введению К введению