Физический смысл производной Содержание Основные формулы дифференцирования Производная элементарных функций Геометрический смысл Правила дифференцирования Производная частных функций Понятие производной

Непрерывность Исследование функции с помощью производной Задачи на нахождение наибольшего иЗадачи на нахождение наибольшего и Наименьшего значения функции Практическая часть

Понятие производной на главную f В C А f х х х 0 + х х 0 f(x 0 ) f(x 0 + x) x y f=(x 0 + x) – f(x 0 ) Определение. Производной функции f в точке х 0 называется число, к которому стремится разностное отношение При х, стремящемся к нулю. f(x 0 + x) – f(x 0 ) x x = f 0 0

Производная частных функций Частные функции (x) / = 1, x - переменная (c) / =0, c - const (x 3 ) / =3x 2 (x 2 ) / =2x (1/х) / =-1/х 2 ( 3 х) / =1/ 3 х) ( x) / =1/2 x

Правила дифференцирования (u + v) / = u / + v / (u v) / = u / v + v / u (C u) / = Cu / правила дифференцирования Основные (f (u(х))) / = f / (u (х))· u / (х) u / v-v / u UvUv = ( )/)/ v2v2

Основные формулы дифференцирования (Sinх)´ = cosх ( Cosх)´ = -Sinх (lnх)' = 1/х х>0 (log a)' = 1/(х ln а) (e х )' = e х (а х )' = а х lnа (kх + b )' = k (х р )´ = р х р -1 (ln (kх + b) )' = k/ kх + b (log a)' = 1/х ln а (lg) / = 1/х · lg e (ctgх) / = - 1/sin 2 х (tgх) / = 1/cos 2 х (kх + b )' = k

Геометрический смысл производной Пусть задана функция y = f(х), которая имеет производную в точке х = а. Через точку (а; f(a)), проведена касательная к графику функции y = f(х). Угловой Коэффициент или тангенс угла наклона этой касательной будет равен производной функции y = f(х) в точке х = а, то есть k = tg = f / (a). Y= f (a) + f / (a) (х-a) Уравнение касательной Y = f(х) f (a) aО y х

Непрерывность Функция y = f(x) называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке промежутка. Геометрическая непрерывность функции на промежутке означает, что график этой функции на данном промежутке изображен сплошной линией без скачков и разрывов. При этом малому изменению аргумента соответствует малое изменение функции. Если при x = a функция y = f(x) существует в окрестности этой точки, но в самой точке x = a не выполняется условие непрерывности, говорят, что точка x = a есть точка разрыва функции. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. О у х y = f(x) а b О х у а О х у а на главную

Пусть точка движется по некоторой прямой линии, так что ее положение меняется с течением времени. Рассмотрим эту прямую как числовую ось, тогда положение точки определяется её координатой, и с течением времени эта координата меняется, являясь тем самым функцией от времени. Уравнением движения называется запись у = f (t), показывающая, каким образом меняется координата с течением времени. Скорость движения с уравнением у = f (t) в момент времени t равна значению производной f '(t) в этот момент времени. В этом состоит физический смысл производной. Скорость движения при неравномерном движении изменяется с течением времени. Скорость изменения скорости называется ускорением, То есть f ' '(t). В этом состоит физический смысл второй производной. Физический смысл производной

Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена на отрезке[a; b]. Говорят, что функция имеет максимум в точке x 0 [a; b], если существует окрестность точки x 0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x 0 ). Под окрестностью точки x 0 понимают интервал длины 2e с центром в точке x 0, т. е. (x 0 – e ; x 0 + e), где e – произвольное положительное число. y x O y = f (x) max min x max x min Определение 2. Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a; b]. Говорят, что функция имеет минимум в точке x 0 [a; b], если существует окрестность точки x 0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f (x) > f(x 0 ).

Максимумы и минимумы функции не являются обязательно наибольшими и наименьшими значениями этой функции во всей области определения. Например, функция y = f (x) определена на отрезке [a; b], имеет четыре экстремума: два минимума (x = C 1 и x = C 3 ) и два максимума (x = C 2 и x = C 4 ). Вместе с тем, функция достигает наибольшего значения при x = a и наименьшего при x = b. Признак максимума функции: Если функция непрерывна в точке x 0 и ее производная, переходя через нее, меняет знак с плюса на минус, то x 0 есть точка максимума. Признак минимума функции: Если функция непрерывна в точке x 0 и ее производная, переходя через нее, меняет знак с минуса на плюс, то x 0 есть Точка минимума. O y x a b C1C1 C2C2 C3C3 C4C4 y = f (x)

Схема исследования: 1.Область определения. 2.Чётность. 3.Периодичность. 4.Критические точки. 5.Значение функции в критических точках. 6.Промежутки возрастания и убывания. 7.Экстремумы. 8.Наибольшее и наименьшее значение функции. 9.Дополнительные точки. Пример: исследовать функцию у = - х 3 + 3х - 2 и построить её график Решение: 1.Область определения: D У = (- ; + ). 2.Функция не является ни чётной, ни нечётной. 3.Функция не является периодической. 4.Производная: у = 0 при х = 1 и х = У (1) = 0; у(-1) = у < 0 при х є ( - ; -1), следовательно, на промежутке ( - ; -1) функция убывает; у > 0 при х є ( - 1; 1) функция возрастает; у < 0 при х є ( 1; + ), следовательно, на промежутке ( 1; + ) функция убывает. Так как в точка х = -1 и х = 1 функция непрерывна, то эти точки присоединим к промежуткам убывания и промежутку возрастания. (- ; - 1]; [ 1; + ) – промежутки убывания. [-1;1] – промежуток возрастания.

8. Так как в точке х = -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то х = -1 – точка минимума Так как в точке х = 1 производная меняет знак с плюса на минус, то точка х = 1 – точка максимума Минимум функции: y min = - 4 Максимум функции: y max = Дополнительные точки: Если х = 0, то y = -2; Если х = -2, то y = 0. Построим график функции: х y o y = -х 3 +3х - 2

Пусть функция у = f (х), х є [а; b], непрерывна на отрезке [а; b], дифференцируема во всех точках этого отрезка и имеет конечное число критических точек на этом отрезке. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции у = f (х), на отрезке [а; b], необходимо: 1.Найти критические точки; 2.Вычислить значение функции на концах отрезка и в критических точках; 3.Выбрать из найденных значений наибольшее и наименьшее. если функция у = f (х) возрастает на отрезке [а; b], то f (a) – наименьшее значение, f (b) – наибольшее значение функции на этом отрезке. если функция у = f (х) убывает на отрезке [а; b], то f (а) – наибольшее значение, f (b) - наименьшее значение функции на этом отрезке.

Практическая часть Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: Решение: данная функция непрерывна и дифференцируема в каждой точке отрезка [ -1; 2]. Найдём производную: у / = х 2 – 4х + 3. Найдём критические точки: у / = 0 при х = 1 и х = 3, 3 [ -1; 2]. Найдём значение функции в точке х = 1 и на концах отрезка [ -1; 2]: У (1) = 1 3 /3 – 2 · · = 1/3 – = 2 У(-1)=(-1) 3 /3 - 2· (-1) 2 + 3· (-1) + 1= - 4 У(2)= 2 3 /3 – 2 · · = 1 Ответ: max у(х) = 2 ; min у(х) = - 4. [-1;2] [-1;2]

Составьте уравнение касательной к параболе у =2 х 2 – 12х + 20 в точке с абсциссой х = 4. Решение: уравнение касательной функции у = f (х) в точке х = a: у = f (а) + f / (а)( х – а) Найдём производную функции f ( 2 х 2 – 12х + 20: Х ) = f / (х) = 4х – 12. Найдём значение производной и функции при х = 4: f / (4) = 4· 4 – 12 = 4 f (х) = 2 · 4 2 – 12 · = 4. Составим уравнение касательной: У = (х – 4); У = 4 + 4х – 16; У = 4х – 12 у =2 х 2 – 12х + 20 У = 4х – 12 - уравнение касательной к параболе у =2 х 2 – 12х + 20 в точке с абсциссой х = 4. Ответ: У = 4х – 12.

Найти промежутки возрастания и убывания, точки максимума и точки минимума функции, максимумы и минимумы функции: у = 2х 2 + 4х + 1. Решение: Найдём производную данной функции: у / = 4х + 4. Так как у / > 0 на ( - 1; + ), значит, на этом интервале функция возрастает. Так как у / < 0 на ( - ; - 1), значит, на этом интервале функция убывает. Так как в точке х = - 1 функция у = 2х 2 + 4х + 1 непрерывна, то эту точку присоединим к промежутку возрастания и промежутку убывания, то есть на промежутке [ - 1; + ), функция возрастает, на промежутке ( - ; - 1], функция убывает; Так как в точке х = - 1 производная меняет знак с минуса на плюс, то х = - 1 является точкой минимума. Найдём минимум функции: у min = 2*( - 1) (- 1) + 1 = - 1. Ответ: на [ - 1; + ), функция возрастает, на промежутке ( - ; - 1], функция убывает; х min = - 1; у min = - 1.

Найти координаты точки, в которой касательная к параболе у = 3/2 х 2 - 4х + 5 образует угол 135 o с осью Ох. Решение: Тангенс угла наклона равен производной функции в точке касания, то есть t g 135 o = f / (х), t g 135 o = -1 3/2 х 2 - 4х + 5 f / (х) = (3/2 х 2 - 4х + 5 ) / = 3х – 4, 3х – 4 = - 1; 3х = 3; х = 1. Значит, 1 – абсцисса точки касания. Найдём ординату этой точки: f (1) = 3/2 · 1 2 – 4 · = 3/2 – = 2,5 (1; 2,5) – координаты точки касания. Ответ: (1; 2,5).

Материальная точка движется прямолинейно по закону х (t) = 1/3 t 3 – ½ t Выведите формулу для вычисления скорости в любой момент времени и найдите скорость в момент t = 5 с. (Путь – в метрах). Решение : Скорость движения с уравнением х (t) = 1/3 t 3 – ½ t в момент времени t равна значению производной х / (t) в этот момент времени. Поэтому: V = х / (t) = t 2 - t Найдём скорость в момент времени t = 5; V (5) = 5 2 – 5 = 25 – 5 = 20 (м/с). Ответ: V = 20 (м/с).