Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них это теорема Пифагора... Иоганн Кеплер. Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Без преувеличения можно сказать, что это самая известная теорема геометрии, так как о ней знает подавляющее большинство населения планеты. Причин такой популярности три: простота, красота, широчайшая применимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу. Существует около 500 различных доказательств этой теоремы.

Пифагор Самосский. (Pythagoras of Samos) 570 – 475г до н.э. В еликий ученый Пифагор родился окол 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил большие способности к наукам. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и живописи. По совету своего учителя Пифагор решает продолжить свое образование в Египте. Учеба Пифагора в Египте способствует тому, что он сделался одним из самых образованных людей своего времени.

Древние источники. В таблице представлена хронология развития теоремы до Пифагора: Историческое место Историческое место Дата Дата 1 Древний Китай (математическая книга Чу-пей) 2400г.до н.э. 2 Древний Египет (гарпедонапты или "натягиватели веревок") 2300г.до н.э. 3 Вавилон (Хаммураби ) 2000г.до н.э. 4 Древняя Индия (сборник Сульвасутра ) 600г. до н.э. 5Пифагор 570г. до н.э. В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство.

Не алгебраические доказательства теоремы Пифагора. Простейшее доказательство. « Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах." Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ABC: квадраты, построенные на катетах АВ и ВС, содержат по 2 исходных треугольника, а квадрат, построенный на гипотенузе АС 4 таких же треугольника. Теорема доказана. А С В

Древнеиндийское доказательство. В трактате крупнейшего индийского математика Бхаскары помещен чертеж с характерным для индийских доказательств словом «смотри!» Как мы видим, если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам, то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и b, т.е. с²= а² +b². c ab с с с с аb а а b b b² a²

Аддитивные доказательства (доказательства методом разложения). С уществует целый ряд доказательств теоремы Пифагора, в которых квадраты, построенные на катетах и на гипотенузе, разрезаются так, что каждой части квадрата, построенного на гипотенузе, соответствует часть одного из квадратов, построенных на катетах. Во всех этих случаях для понимания доказательства достаточно одного взгляда на чертеж; рассуждение здесь может быть ограничено единственным словом: "Смотри!", как это делалось в сочинениях древних индусских математиков.

Доказательство ан-Найризия. На рисунке приведено доказательство теоремы Пифагора с помощью разбиения ан-Найризия – средневекового багдадского комментатора «Начал» Евклида. Это разложение квадратов интересно тем, что его попарно равные части отображаются друг на друга параллельным переносом. В этом разбиении квадрат, построенный на гипотенузе, разбит на 3 треугольника и 2 четырехугольника. Квадрат на большем катете разбит на 2 треугольника и 1 четырехугольник, а квадрат на меньшем – на 1 треугольник и 1 четырехугольник. а b c

Доказательство Перигаля. В учебниках нередко встречается разложение, указанное на рисунке (так называемое "колесо с лопастями"). Через центр квадрата, построенного на большем катете провели две прямые: перпендикулярную и параллельную гипотенузе. В этом разложении квадратов попарно равные четырехугольники так же могут быть отображены друг на друга параллельным переносом. b а с

B С А F E D P O N K Доказательство Эпштейна. Преимуществом данного разложения является то, что здесь в качестве составных частей разложения фигурируют только треугольники. АВС – прямоугольный треугольник. СD перпендикулярна EF, C принадлежит EF, PО и KN параллельны EF. В данном разложении части квадратов, расположенных на катетах образуют квадрат на гипотенузе.

Геометрический метод доказательства. Доказательство Гарфилда. а а b b с с На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае S=½ (a + b)(a + b), во втором S=½ab + ½ab + ½c² приравнивая эти выражения получим: ½ (a² + 2ab + b²)= ab + ½ c²; ½ a² + ab + ½ b² = ab + ½ c²; ½ a² + ½ b² = ½ c²; a² + b² = c². Теорема доказана.

Алгебраический метод доказательства. а СА В b c Дано : АВС, С = 90, ВС = b, АС = а, АВ = с Доказать: с ² = а² + b² Доказательство: Достроим АВС до квадрата СМРК со стороной (а + b), тогда S СМРК =(а+b)² С другой стороны площадь квадрата равна сумме площадей 4 равных М К Р Т Н прямоугольных, площадь каждого из которых равна ½аb, и площади квадрата со стороной равной с, поэтому S СМРК = 4· ½аb + с². Таким образом (а + b)² = 4· ½аb + с², а² + 2аb + b² = 2аb + c², а² + 2аb + b² – 2аb = c², а² + b² = c². Теорема доказана.

Другие доказательства. Доказательство Евклида. Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал".

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BNLD равновелик квадрату BFHА, а прямоугольник NCEL - квадрату АMКС. Тогда сумма площадей квадратов на катетах будет равна площади квадрата на гипотенузе. S ABD = ½ S BNLD = ½BD · LD; S BFC = ½ S BFHA = ½BF · BA. Значит прямоугольник BNLD равновелик квадрату BFHА. В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB=AB; BC=BD; АВD=FBC=ABC+90º А налогично доказывается, что S NCEL =S AMКС. Итак, S ABFH +S AMКС = S BNLD +S NCEL =S BCED. Теорема доказана. K DLE C N В А F H M

Применение теоремы. 1. Пусть d диагональ квадрата со стороной а. Ее можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом d²= a² + a²=2a², d=a 2. Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур. 2. Диагональ куба d является гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (d 1 = a 2 ). Отсюда имеем: d²=a²+2a², d²=3a², d=a 3 а а d а а а d d1d1

Заключение. В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Значение ее состоит прежде всего в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема и уравнение Пифагора на протяжении тысячелетий привлекают внимание математиков, являясь источником плодотворных идей и открытий.