Перпендикулярность прямой и плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Доказательство: Путь а - прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости α. Тогда прямая а проходит через точку А пересечение b и c. Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости α.

Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости α и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости α произвольную прямую, не проходящею через точку А и пересекающую прямы α е b, c и x. Пусть точками пересечения будут b, c и x. α

Пусть точками пересечения будут b, c и x. Отложим на прямой а от точки А в разные стороны АА1 и АА2. А1СА2 равнобедренный, т. к. отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА1 = АА2).

По той же причине А1ВА2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по третьему признаку равенства треугольников.

Из этого равенства следует равенство углов А1ВХ и А2ВХ и, следовательно, равенство треугольников А1ВХ и А2ВХ по первому признаку равенства треугольников. Из равенства сторон А1Х и А2Х этих треугольников заключаем, А1ХА2 равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой, а это значит, что прямая Х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна α.

Презентацию по геометрии выполнила Фрунзе Светлана группа 119 Псков 2007