Площадь квадрата Презентация по геометрии ученицы 8 «В» класса Жиряковой Марии.

Площадь численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры, неформально говоря, показывающая размер этой фигуры. Фигуры с одинаковой площадью называются равновеликими.

Аксиомы площади Площадь единичного квадрата равна 1. Площадь аддитивна. Площадь неотрицательна. аддитивность площади означает, что площадь целого равен сумме …составляющих его частей.

Докажем, что площадь квадрата со стороной а равна а 2. 1 случай. а=1/n, где n- нат.число. Возьмем квадрат со стороной 1 и разобьем его на n 2 равных квадратов, как на рисунке. Так как площадь большого квадрата равна 1, то площадь каждого маленького квадрата...

Сторона каждого маленького квадрата равна…, т.е. равна а. Итак, S= 1/n 2 = (1/n) 2 =a 2 (1) Случай 2. Пусть теперь а представляет собой конечную десятичную дробь, содержащую n знаков после запятой, так же число а может быть целым, и тогда n=0. Тогда число квадратиков на каждой стороне m=а*10 n. Разобьем данный квадрат со стороной а на m 2 равных квадратов, как на рисунке.

При этом каждая сторона данного квадрата разобьется на m равных частей, и, значит, сторона любого маленького квадрата равна а/m=a/a*10 n =1/10 n По формуле(1) площадь маленького квадрата равна (1/10 n ) 2.

Следовательно, площадь данного квадрата равна m 2 * (1/10 n ) 2 =(m/10 n ) 2 = (a*10 n /10 n ) 2 = a 2. Пусть число а представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим число а n, получаемое из а отбрасыванием всех десятичных знаков после запятой, начиная с(n+1)-го. Так как число а отличается от а n не более чем на 1/10 n, то а n а а n + 1/10 n, откуда а n 2 а 2 (а n + 1/10 n ) 2. (2)

Площадь данного квадрата заключена между площадью квадрата со стороной а n и площадью квадрата со стороной а n + 1/10 n а n 2 S (а n + 1/10 n ) 2 (3) а а n + 1/10 n аnаn

Будем неограниченно увеличивать число n. Тогда число 1/10 n, будет становиться сколь угодно малым, и, значит, число (а n + 1/10 n ) 2 будет сколь угодно мало отличаться от числа а n 2. Поэтому из неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь угодно мало отличается от числа а 2. Следовательно, эти числа равны: S= а 2, Ч.Т.Д.

Теорема Пифагора. Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

Формулировки Геометрическая формулировка: Изначально теорема была сформулирована следующим образом: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника. Обратная теорема Пифагора: Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a 2 + b 2 = c 2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Доказательства По преданию, Пифагор отпраздновал открытие своей теоремы гигантским пиром, заклав на радостях сотню быков. На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.