Площади Геометрия 8 класс (к учебнику «Геометрия 7-9», авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и другие) Остроухова Елена Геннадьевна, учитель математики ВКК, МОУ СОШ 54 с углубленным изучением предметов социально-гуманитарного цикла города Новосибирска

Понятие площади многоугольника Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения отрезков. 1 1 Единицы измерения площади 1 дм 2 = 100 см 2 ; 1м 2 = см 2 1 см 2 = 100 мм 2 ; 1 м 2 = 100 дм 2 S = 1 кв. ед.

Это число показывает сколько раз единица измерения площади и её части укладываются в данном многоугольнике. ПалеткаМногоугольник S фигуры = Число целых квадратов + число частей квадратов Измерение площади палеткой Площадь многоугольника выражается положительным числом. S фигуры = Единица измерения площади 18 (кв. ед.)

a b 1. Равные многоугольники имеют равные площади. a b Свойства площадей Палетка S1S1 S2S2 =

1. Равные многоугольники имеют равные площади. Свойства площадей Палетка S1S1 S2S2 = 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. S1S1 S2S2 S3S3 S = S S1S1 S2S2 S3S3 ++

1. Равные многоугольники имеют равные площади. Свойства площадей Палетка S1S1 S2S2 = 2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. = S S1S1 S2S2 S3S Площадь квадрата равна квадрату его стороны. S=9a=3a=3S=a2S=a2

1. На продолжении стороны DC параллелограмма ABCD за точку C отмечена точка M так, что DC=CM. Доказать, что S ABCD =S AMD Примеры решения задач (1) B D M C A K Дано: ABCD – параллелограмм MC = CD Доказать: S ABCD = S AMD Решение: Обозначим точку пересечения отрезков AM и BC точкой K. Параллелограмм ABCD состоит из двух фигур: треугольника ABK и трапеции AKCD. Треугольник AMD состоит из двух фигур: треугольника KMC и трапеции AKCD. Значит, по свойству площадей S ABCD =S ABK +S AKCD S AMD =S KMC +S AKCD Рассмотрим ABK и KMC MC=CD (по условию) AB=CD (как противоположные стороны параллелограмма) Значит, MC=AB AB DC, следовательно, ABK = KMC как накрест лежащие при секущей BC. BK=KC (по теореме Фалеса) Следовательно, ABK = MCK, следовательно, S ABK =S MCK, следовательно, S ABCD =S AMD

Примеры решения задач (2) 2. Составить формулу для вычисления площади фигуры, изображенной на чертеже a bс t f f d 3. На продолжении стороны квадрата AD квадрата ABCD за вершину A взята точка M, MC=20 дм, CMD=30 0. Найти площадь квадрата.

Площадь прямоугольника Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. b Дано: a, b – стороны прямоугольника Доказать: S = ab a S S кв = (a + b) 2 S b b a a b a S = ab S кв = S 1 + 2S + S 2 S 1 = b 2, S 2 = a 2 (a + b) 2 = b 2 + 2S + a 2 a2a2 Доказательство: +2ab+b2b2 =b2b2 +2S+a2a2

Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, к ней проведенную. B D C A S = AD·BKS = CD·BM K M

Площадь параллелограмма Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, к ней проведенную. B D C A S = AD·BK K Доказать: Доказательство: M BK = CM(почему?) ABCM - трапеция(почему?) S – площадь параллелограмма ABCD S 1 – площадь треугольника ABK S 2 – площадь треугольника DCM S 3 – площадь прямоугольника KBCM S 4 – площадь трапеции ABCM S 4 = S 1 + S 3 по свойству площадей или S 4 = S + S 2 S 1 + S 3 = S + S 2 S2S2 S4S4 S1S1 S3S3 S Докажите, что S 1 = S 2 S 3 = S S 3 = BC·BK Значит, и S = BC·BK Но BC = AD Поэтому S = AD·BK S = a·h a a h h

Площадь треугольника Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, к ней проведенную. B C D A Доказательство: 1. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABDC. b h c a 2. Докажите, что ΔABC = ΔBDC 3. Что можно сказать о площадях этих треугольников? 4. Чему равна площадь параллелограмма ABDC? 5. Сравните площади параллелограмма ABDC и треугольника ABC. 6. H

Частные случаи площади треугольника Площадь прямоугольного треугольника B CA b a BC - высота ΔABC AC и BC – катеты прямоугольного треугольника ΔABC, AC = b, BC = a значит, Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Частные случаи площади треугольника Площади треугольников с одинаковой высотой a Сделайте вывод: Отношение площадей треугольников, имеющих равную высоту равно Найдите отношение площадей: отношению их оснований. Треугольники, изображенные выше имеют одинаковую высоту h и разные основания. Площади каждого треугольника равны: b hhhh c d 1234 …

S1S1 C1C1 B1B1 A1A1 Частные случаи площади треугольника Если треугольники имеют равные углы, то их площади относятся, как произведения сторон, содержащих эти углы. 1. Наложим треугольники, совместив равные углы. A C B S 2. Проведем отрезок BC 1. Получили вспомогательный треугольник ABC У треугольников ABC 1. и A 1 B 1 C 1 одна высота C 1 K. K Следовательно, 4. У треугольников ABC 1. и ABC одна высота BM. M Следовательно, 5. Найдем произведение этих отношений площадей:

Площадь трапеции Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. B C D A Доказательство: 1. Проведем диагональ трапеции BD. b h a 2. По свойству площадей площадь трапеции равна 3. Проведем ещё одну высоту DM к основанию BC. Равны ли BH и DM? Почему? 4. H S = S ΔABD + S ΔBCD … M