ОПТИМИЗАЦИЯ ПЕРЕЛЕТОВ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА НАПРАВЛЕНИЕ ТЯГИ А. Суханов ИКИ 30 ноября 2004 г.

Отсутствие ограничений на направление тяги p 0, p r, p v, – сопряженные переменные p v – базис-вектор Лоудена Минимизируемый функционал: Функция Гамильтона: Уравнения движения: вектор тяги Оптимальная тяга при Возможно ограничение:

ПСИОР Оптимальная тяга Функция переслючения ИРТОМ m = m(t) – масса КА N = N(r, t) – мощность тяги с скорость истечения 1. Идеально регулируемая тяга ограниченной мощности (ИРТОМ) 2. Постоянная скорость истечения с ограниченным расходом рабочего тела (ПСИОР) или импульсная тяга Отсутствие ограничений на направление тяги

Проекция вектора на множество Проекция (абсолютная) вектора b на вектор a: Проекция b A вектора b на некоторое замкнутое множество векторов A есть проекция на вектор a A, на котором достигается max b T a 0. Матрица Р проектирует b на множество А. P = a 0 a 0T проективная матрица Проекцию b i вектора b на вектор a i A (i = 1, 2, …) назовем локальной проекцией на множество A, если существует такая окрестность вектора a i, что для любого вектора a из этой окрестности

1. Проекция вектора b на множество A достигается при a 0 = b 0, если b A (при этом b A = b) и на границе множества A, если b A AA bAbA b bA=bbA=b Свойства проекций вектора на множество 2.Абсолютная проекция на пересечение нескольких подмножеств достигается либо на абсолютной или локальной проекции на одно из подмножеств, либо на пересечении границ по крайней мере двух подмножеств. 3.Если существует единственная проекция b А вектора b на одно из подмножеств и вектор а, на котором достигается эта проекция, принадлежит пересечению А этих подмножеств, то b А является абсолютной проекцией вектора b на множество А.

Общий случай ограничений на направление тяги Максимум функции Гамильтона достигается при Матрица проектирует вектор p v на множество G p G = Pp v проекция p v на G G p G = p v p G лежит на границе G достаточно проверить G При ограничении g = 0 граница множества совпадает с самим множеством. Ограничения на единичный вектор 0 направления тяги: 0 G, G: g = 0 или g 0, g = g(r, v, t, 0 )

Оптимальная тяга Ограничения на направление тяги ИРТОМ ПСИОР Отсутствие ограничений

Ограничение типа равенства делает систему автономной

Ограничение типа неравенства Граница множества G : k компонент вектора g равны нулю, а остальные n – k компонент строго больше нуля (1 k n) Двусторонние ограничения разбиваются на два неравенства g = {g 1, …, g n }, G = G 1 G 2... G n Если, то p G = p v Рассмотрим случай, когда p G на границе G Границы подмножеств G i могут пересекаться либо не пересекаться (например, в случае двусторонних ограничений)

Пусть для каждой пары g i, g j одновременное выполнение равенств g i = 0, g j = 0 либо возможно лишь для конечного числа значений 0, либо невозможно. Способ нахождения оптимального 0 при : Вычисляются все проекции вектора p v на подмножества G i Находятся точки пересечения границ каждой пары подмножеств G i, G j Из всех найденных векторов 0 выбираются принадлежащие пересечению G и среди них находится Ограничение типа неравенства

Линейные ограничения типа равенства G: B 0 = c B = B(r, v, t), c = c(r, v, t) проективная матрица (проектирует В ), I единичная матрица оптимальное направление тяги ограничение типа равенства дает поверхность конуса при n = 1 или линии пересечения поверхностей круговых конусов при n = 2; матрица ВВ Т невырожденна если конусы пересекаются Ограничение выполнимо лишь при c i b i

Линейные ограничения типа неравенства G: B 0 c B = B(r, v, t), c = c(r, v, t) G i : 0 внутри (c i > 0) или вне (c i < 0) кругового конуса, пересечение круговых конусов. оптимальное направление тяги достигается либо на поверхности i-го конуса, либо на линии пересечения двух конусов или Пусть

Линейные однородные ограничения проективная матрица B 0 = 0 B = B(r, v, t) матрица ранга 1 (плоскость) или 2 (прямая) Оптимальная тяга либо направлена вдоль заданного вектора, либо ортогональна заданному вектору

Линейные однородные ограничения типа неравенства B 0 0 телесный угол, ограниченный плоскостями (полупространство, если В строка) оптимальное направление тяги достигается либо на i-й плоскости, либо на линии пересечения двух плоскостей

Примеры линейных однородных ограничений Тяга ИСЗ ортогональна местной вертикали То же, что в предыдущем случае, но во вращающейся системе координат с осью х, направленной вдоль линии Солнце-Земля (например, в задаче трех тел) Ось вращения стабилизированного вращением ИСЗ направлена на Солнце и тяга направлена вдоль этой оси («Прогноз») где = r S (t) r r S (t), r S (t) геоцентрический радиус-вектор Солнца

Объединение множеств и смешанные ограничения Приведенные результаты легко обобщаются на: Объединение ограничивающих множеств G = G 1 G 2 … G n Пример: b T 0 c > 0 или b T 0 c Смешанные ограничения g 1 (r, v, t, 0 ) = 0 и g 2 (r, v, t, 0 ) 0 Пример:

Уравнения для базис-вектора Лоудена Ограничения на направление тяги отсутствуют: сопряженные уравнения в вариациях Решение:,А общее решение, 0 = const,Q подматрица А Имеется ограничение g(r, v, t, 0 ) = 0:, g неопределенный множитель

Способы вычисления базис-вектора Лоудена Численное интегрирование совместно с уравнениями движения решение однородного уравнения В случае малой тяги метод вариации произвольной постоянной Если тяга очень маленькая, то На больших интервалах времени приближенные методы могут расходиться

Метод транспортирующей траектории Метод транспортирующей траектории (МТТ) – метод приближенного решения задачи оптимального перелета с ИРТОМ, основанный на линеаризации траектории перелета около некоторой близкой кеплеровской орбиты (транспортирующей траектории ТТ) Модифицированный МТТ: x, y векторы состояния КА и транспортирующей траектории, 0, 1 граничные условия, A общее решение сопряженного уравнения в вариациях для ТТ (найдено аналитически в явном виде) Q подматрица матрицы А = А 1 1 А 0 0, А 0 = А(t 0 ), А 1 = А(t 1 )

Метод транспортирующей траектории Матрица QQ T вырожденна, однако матрица S является невырожденной на любом интервале времени оптимальная тяга вектор состояния КА минимизируемый функционал масса рабочего тела Любая требуемая точность достигается путем разбиения интервала времени перелета на подынтервалы., = const неизвестный вектор

Применение МТТ при ограничениях на направление тяги В общем случае Р зависит от p v = Q T находится из уравнения и В случае линейных однородных ограничений В 0 = 0 матрица Р не зависит от Невырожденность матрицы S 1 является достаточным условием осуществимости перелета при данных ограничениях

Пример: радиальная тяга где q = {q 1, …, q 6 } = Qr/r q 1 = q 2 = 0 rank S 1 4 Плоский перелет: 1 = 2 = 0 (полагая = { 1, …, 6 }) Уменьшение размерности: = { 3, …, 6 }, q = {q 3, …, q 6 }, = { 3, …, 6 } Матрица может быть невырожденной условие невырожденности матрицы S 1 может не быть необходимым для осуществимости перелета Применение МТТ при ограничениях на направление тяги

Численный пример Рассматривается перелет к Марсу в 2007 г. с тягой ортогональной направлению на Солнце Наличие ограничения на направление тяги приводит к плохой обусловленности матрицы S 1 при большом числе подынтервалов (более 30 35), т.е. на коротких интервалах времени интегрирования

Выводы Оптимальная тяга найдена в явном виде для линейных ограничений типа равенства или неравенства Для нахождения оптимального перелета при ограничениях на направление тяги может использоваться метод транспортирующей траектории после небольшой модификации. При наличии ограничений на направление тяги оптимальная тяга направлена вдоль проекции базис-вектора на ограничивающее множество Метод транспортирующей траектории дает также достаточное условие осуществимости перелета при данных ограничениях