1.Введение. 2. Диофант и история диофантовых уравнений.Диофант и история диофантовых уравнений. 3. Теоремы о числе решений уравнений с двумя переменными. 4. Нахождение решений для некоторых частных случаев. 5. Примеры решений уравнений С6 из ЕГЭ Примеры решений уравнений С6 из ЕГЭ Заключение.Заключение. 7. Литература.Литература.

В этом учебном году одиннадцатиклассникам предстоит сдавать Единый государственный экзамен по математике, где КИМы составлены по новой структуре. Нет части «А», но добавлены задания в часть «В» и часть «С». Составители объясняют добавление С6 тем, что для поступления в технический ВУЗ нужно уметь решать задания такого высокого уровня сложности.

Решая примерные варианты заданий ЕГЭ, мы заметили, что чаще всего встречаются в С6 задания на решение уравнений первой и второй степени в целых числах. Но мы не знаем способы решения таких уравнений. В связи с этим возникла необходимость изучить теорию таких уравнений и алгоритм их решения.

Уметь решать уравнения с двумя неизвестными первой и второй степени в целых числах.

1)Изучить учебную и справочную литературу; 2)Собрать теоретический материал по способам решения уравнений; 3)Разобрать алгоритм решения уравнений данного вида; 4)Решить уравнения с двумя переменными в целых числах из материалов ЕГЭ-2010 С6.

Решение уравнений в целых числах является одной из древнейших математических задач. Наибольшего расцвета эта область математики достигла в Древней Греции. Основным источником, дошедшим до нашего времени, является произведение Диофанта – «Арифметика». Диофант суммировал и расширил накопленный до него опыт решения неопределенных уравнений в целых числах. В истории сохранилось мало фактов биографии замечательного александрийского ученого- алгебраиста Диофанта. По некоторым данным Диофант жил до 364 года н.э.

Он специализировался на решении задач в целых числах. Такие задачи в настоящее время известны под названием диофантовых. Жизнь и деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал и решал известные и придумывал новые задачи. Позднее он объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть сохранились до Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения

Теорема 1 Если в уравнении ax+by=1, (a,b)=1, то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.

Теорема 2 Если в уравнении ax+by=c, (a,b)=d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 3 Если в уравнении ax+by=c, (a,b)=d>1 и, то оно равносильно уравнению a 1 x+b 1 y=c 1, в котором (a 1,b 1 )=1.

Теорема 4 Если в уравнении ax+by=c, (a,b)=1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах: x=x 0 c+bt y=y 0 c-at где х 0, у 0 – целое решение уравнения ax+by=1, t- любое целое число.

3. Алгоритм решения уравнения в целых числах Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида ax+by=c. 1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b, если (a,b)=d>1 и с не делится на d, то уравнение целых решений не имеет; если (a,b)=d>1 и, то

2. Разделить почленно уравнение ax+by=c на d, получив при этом уравнение a 1 x+b 1 y=c 1, в котором (a,b)=1; 3. Найти целое решение (х 0, у 0 ) уравнения a 1 x+b 1 y=1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел a и b; 4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения где х 0, у 0 – целое решение уравнения, - любое целое число.

4.Примеры решений уравнений первой степени двумя переменными ( С6 из ЕГЭ -2010)

Пример 1 Решить в натуральных числах уравнение:, где т>п Решение: Выразим переменную п через переменную т:

Найдем делители числа 625: т-25 Є{1; 5; 25; 125; 625} 1) если т-25 =1, то т=26, п=25+625=650 2) т-25 =5, то т=30, п=150 3) т-25 =25, то т=50, п=50 4) т-25 =125, то т=150, п=30 5) т-25 =625, то т=650, п=26 Ответ: т=150, п=30 т=650, п=26

Пример 2 Решить уравнение в натуральных числах: тп +25 = 4т Решение: тп +25 = 4т 1) выразим переменную т через п: 4т – тп =25 т(4-п) =25 т =

найдем натуральные делители числа 25: ( 4-п) Є {1; 5; 25} если 4-п =1, то п=3, т=25 4-п =5, то п=-1, т=5 (посторонние корни) 4-п =25, то п=-21, т=1 (посторонние корни) Ответ: (25;3)

5.Уравнения второй степени с двумя неизвестными

Пример 1 1. Решить уравнение: х 2 - у 2 =3 в целых числах. Решение: 1) Применим формулу сокращенного умножения х 2 - у 2 =(х-у)(х+у)=3 2) Найдем делители числа 3 = {-1;-3;1;3} 3) Данное уравнение равносильно совокупности 4 систем:

х-у=1 2х=4 х=2, у=1 х+у=3 х-у=3 х=2, у=-1 х+у=1 х-у=-3 х=-2, у=1 х+у=-1 х-у=-1 х=-2, у=-1 х+у=-3 Ответ: (2;1), (2;-1), (-2;1), (-2,-1)

2. Решить уравнение: х 2 +ху=10 Решение: 1) Выразим переменную у через х: 2) Дробь будет целой, если х Є {±1;±2; ±5;±10} 3) Найдем 8 значений у. Если х=-1, то у= -9 х=-5, то у=3 x=1, то у=9 х=5, то у=-3 x=-2,то у=-3 х=-10, то у=9 x=2, то у=3 х=10, то у=-9

3. Решить уравнение : х 3 – у 3 =91 Решение: найдем делители числа 91: {±1; ±7; ±13; ±91} Значит, уравнение равносильно совокупности 8 систем. 4.Решить уравнение в целых числах: 2х 2 -2ху +9х+у=2 Решение: выразим из уравнения то неизвестное, которое входит в него только в первой степени- в данном случае у: 2х 2 +9х-2=2ху-у

выделим у дроби целую часть с помощью правила деления многочлена на многочлен «углом». Получим: Следовательно, разность 2х-1 может принимать только значения -3,-1,1,3. Осталось перебрать эти четыре случая. Ответ: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

5.Найдите все пары ( х; у) целых чисел, удовлетворяющие системе неравенств: х 2 +у 2 < 18х – 20у - 166, 32х - у 2 > х у Решение: Выделяя полные квадраты, получим: (х-9) 2 + (у+10) 2

Заключение. Решение различного вида уравнений является одной из содержательных линий школьного курса математики, но при этом методы решения уравнений с несколькими неизвестными практически не рассматриваются. Вместе с тем, решение уравнений от нескольких неизвестных в целых числах является одной из древнейших математических задач. Большинство методов решения таких уравнений основаны на теории делимости целых чисел, интерес к которой в настоящее время определяется бурным развитием информационных технологий. В связи с этим, учащимся старших классов будет небезынтересно познакомиться с методами решения некоторых уравнений в целых числах, тем более что на олимпиадах разного уровня очень часто предлагаются задания, предполагающие решение какого- либо уравнения в целых числах, а в этом году такие уравнения включены еще и в материалы ЕГЭ.

Литература. 1)Галкин Е.Г. Нестандартные задачи по математике. 2)Галкин Е.Г. Задачи с целыми числами. 3)Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа класс. 4)Математика. ЕГЭ Федеральный институт педагогических измерений. 5)Глейзер Е.И. История математики в школе. 6)Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач.