Курс лекций по теоретической механике Статика Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки. Завершение – Esc. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

Лекция 4. Лекция 4 Плоские фермы. Методы расчета. Метод вырезания узлов. Метод Риттера. Понятие о линиях влияния опорных реакций и усилий. Равновесие сочлененных тел. Условие равновесия рычага. Условие устойчивости тела на опрокидывание. Кинематический способ определения реакций (принцип возможных перемещений).

Лекция 4 Плоские фермы – Геометрически неизменяемые стержневые конструкции, стержни которых лежат в одной плоскости. Узлы фермы – точки, в которых сходятся оси стержней (опорные узлы – узлы, которыми ферма опирается на основание). Верхний и нижний пояса – стержни, образующие верхний и нижний контуры. Стойки – вертикальные стержни. Раскосы – наклонные стержни. Пролет фермы – расстояние между опорными узлами ( l ). Длина панели – расстояние между стойками (d). A B h l d Методы расчета. Для расчета усилий, возникающих в стержнях ферм, используются метод вырезания узлов и метод сквозных сечений (метод Риттера). Основные допущения, принимаемые при расчете ферм: 1.Все узлы соединения стержней считаются идеальными шарнирами, не препятствующими взаимному повороту стержней. Узлы в металлических фермах, в которых стержни соединяются при помощи фасонных листов и заклепок, также рассматриваются как шарнирные, поскольку при нагрузке они допускают малые упругие деформации (взаимные повороты). 2.Нагрузка приложена в узлах. Для узловой передачи нагрузки на практике используются специальные балочные конструкции. 3.Геометрические размеры фермы не изменяются при нагружении (деформации малы). Метод вырезания узлов – Последовательно вырезаются узлы фермы так, чтобы в двух уравнениях равновесия для каждого из узлов было не более двух неизвестных усилий. Как правило внешние опорные реакции должны быть предварительно определены. 2. Нумеруем или обозначаем буквами необозначенные узлы. Реакции стержней (или усилия в них) будем обозначать далее двумя индексными цифрами или буквами – первая из них совпадает с номером (обозначением) вырезаемого узла, а вторая указывает к каком узлу присоединяется другим концом рассматриваемый стержень. 3. Вырезаем узел A (в этом узле всего два неизвестных усилия) и заменяем действие разрезанных (отброшенных) узлов усилиями (реакциями) S A1 и S A A 4. Составляем уравнения равновесия для узла A и вычисляем усилия S A1 и S A6. 5. Вырезаем узел 1 (в этом узле всего два неизвестных усилия) и заменяем действие разрезанных (отброшенных) узлов усилиями (реакциями) S 1A, S 12 и S Составляем уравнения равновесия для узла 1 и вычисляем усилия S 12 и S 16 (S 1A и S A1 равны алгебраически, поскольку при направлении неизвестных усилий от узла аксиома действия и проти- водействия выполняется автоматически). Порядок расчета: 1. Выбираем в качестве объекта равновесия ферму в целом и определяем опорные реакции: Далее процесс вырезания узлов и определения усилий повторяется в определенном порядке, например: 2, 6, 7, 3, 4, 8, 5. Вырезание последнего узла B может служить для контроля правильности расчета. 10

Лекция 4 ( продолжение – 4.2 ) Метод вырезания узлов для вычисления усилия только в указанном стержне требует рассмотрения всех узлов и решения для них уравнений равновесия (по крайней мере узлов, находящихся между одним из опорных узлов и узлом, к которому подходит указанный стержень). Кроме того, последовательное вычисление усилий и подстановка результатов в дальнейший расчет при большом числе узлов чревато накоплением ошибок, не говоря уже о том, допущенная грубая ошибка в одном из узлов делает дальнейшие вычисления неверными. Метод сквозных сечений (метод Риттера) в большинстве случаев не требует для вычисления усилия только в указанном стержне составления каких-либо других вспомогательных уравнений равновесия кроме того уравнения, в котором непосредственно участвует искомое усилие. Метод основывается на составлении одного уравнения равновесия с использованием II и III форм уравнений равновесия произвольной плоской системы сил. Порядок расчета: 1. Выбираем в качестве объекта равновесия ферму в целом и определяем опорные реакции: A B h l d Проводим сквозное сечение, разделяющее ферму на две отдельные части так, чтобы в сечение попадало не более трех стержней, в одном из которых требуется найти усилие, например, сечение I-I для определения S 23. I I 3. Выбирая в качестве объекта равновесия одну часть, например, правую, отбрасываем другую (левую) часть. 4. Действие отброшенной части на оставшуюся заменяем реакциями стержней, попавших в разрез – S 32, S 36 и S Для искомого усилия S 32 находим положение точки Риттера, как точки пересечения линий действия двух других усилий S 36 и S 76, не подлежащих определению в данный момент. Точка Риттера для усилия S 32 совпадает с узлом Составляем моментное уравнение равновесия для оставленной (правой) части относительно найденной точки Риттера (узла 6) и определяем искомое усилие. 7. Для определения усилия S 76 находим положение точки Риттера, как точки пересечения линий действия двух других усилий S 36 и S 32, не подлежащих определению в данный момент. Точка Риттера для усилия S 76 совпадает с узлом Составляем моментное уравнение равновесия для оставленной (правой) части относительно найденной точки Риттера (узла 3) и определяем искомое усилие. 7. При определении усилия S 36 точка Риттера, как точка пересечения линий действия двух других усилий S 76 и S 32, не подлежащих определению в данный момент, уходит в бесконечность. В этом случае моментное уравнение равновесия вырождается в уравнение равновесия в проекциях на ось, перпендикулярную линиям, уходящим в бесконечность. Для определения других усилий необходимо провести другое сечение (п.2) и повторить описанные действия (пп. 3,4,….) 11

Лекция 4 ( продолжение – 4.3 – дополнительный материал ) Понятия о линиях влияния опорных реакций и усилий. Железнодорожные мосты, сооружаемые с использованием таких элементов, как фермы и балочные конструкции, при эксплуатации подвергаются подвижной многоосной нагрузке. При движении поезда усилия в элементах изменяются по некоторому закону и требуется определить наиболее опасные расположения такой нагрузки на сооружении. Исходным аппаратом решения этой задачи являются линии влияния усилий. Линии влияния широко используются в строительной механике. Линия влияния усилия – график изменения усилия в зависимости от положения единичной подвижной нагрузки. Выражения для усилий в стержнях фермы от постоянной нагрузки содержат величину опорной реакции, например: В случае рассмотрения единичной подвижной нагрузки (F 1 =F 2 =F 3 =0, P=1) соответствующие выражения будут различными в зависимости от расположения единичной нагрузки: груз находится слева от сечения I-I: груз находится справа от сечения I-I (на оставленной части фермы): Таким образом, линия влияния усилия S 36 может быть построена с помощью линии влияния опорной реакции R B : груз находится слева от сечения I-I: груз находится справа от сечения I-I : (левая ветвь)(правая ветвь) Построение линии влияния опорной реакции – Ферму можно в данном случае представить в виде обычной балки: 1. Отбрасываем связи и заменяем реакциями: 2. Составляем моментное уравнение равновесия и находим величину реакции в функции от координаты положения груза : 3. Подставляя значения x = 0 и x = l строим график изменения значения опорной реакции (линию влияния): Построение линии влияния усилия в стержне S 36 : A B h l d I 7 1. Строим левую ветвь л.в. усилия (груз находится слева) используя соответствующее выражение : 2. Строим правую ветвь л.в. усилия (груз находится справа) используя соответствующее выражение : 3. Строим передаточную прямую, учитывающую узловую передачу нагрузки : Построенная линия влияния позволяет легко найти величину усилия от любой статической (постоянной) вертикальной нагрузки как сумму произведений величин сил на значения ординат линии влияния: I 12

Лекция 4 ( продолжение – 4.4 ) Равновесие сочлененных тел. Железнодорожные и строительные конструкции могут состоять из сочлененных между собой тел (балок, ферм). Количество наложенных связей может превышать число независимых уравнений равновесия, которые можно составить для рассматриваемой конструкции. Такие задачи являются статически неопределимыми. Степень статической неопределимости для плоских систем равна: где Д – число жестких дисков, Ж – число жестких заделок, Ш – число неподвижных шарниров (опорных и соединяющих диски между собой, С – число шарнирных стержней (опорных или соединяющих диски между собой) или подвижных шарниров A B 1. Выберем в качестве объекта всю конструкцию. С B В теоретической механике возможно решение только статически определимых задач, в которых количество связей равно числу независимых уравнений равновесия (n = 0). 2. Отбросим связи и заменим их действие реакциями. 3. Число неизвестных реакций – 4, а количество независимых уравнений - 3. Это означает, что необходимо расчленить конструкцию – отбросить шарнир C и заменить его действие на каждую из частей реакциями. 4. Число неизвестных реакций – 8, а количество независимых уравнений равновесия для обоих частей - 3·2 = 6. С использованием аксиомы действия и противодействия для каждой пары реакций шарнира C общее число неизвестных реакций уменьшается до 6 и равно общему числу уравнений равновесия: 5. Решение полученной системы уравнений не представляет особых затруднений в указанном порядке: от вспомогательной балки CB (не может оставаться в равновесии без балки AC) к основной балке AC (может находиться в равновесии без балки CB). Равновесие рычага. Рычаг – твердое тело, имеющее одну неподвижную точку. Рычаг имеет одну степень кинематической подвижности (w = – n = 3Д – 3Ж – 2Ш – С = = 3·1 – 3·0 – 2·1 – 0 = 1) и в равновесии может быть лишь при определенном соотношении активных сил, действующих на рычаг. A Уравнения равновесия рычага. Применяя общий подход составления уравнений равновесия к рычагу получаем: Во многих случаях значением опорных реакций не интересуются и искомое соотношение сил определяют из последнего моментного уравнения, которое и принимается за уравнение равновесия рычага. Уравнение равновесия рычага используется при расчете подпорной стенки или груза на опрокидывание: A Условие устойчивости на опрокидывание: Удерживающий момент относительно неподвижной точки (от F 1 ) должен быть больше опрокидывающего момента (от F 2 ) относительно этой же точки. 13

Балка неподвижна и не имеет ни возможных, ни действительных перемещений. Отбросим связь, реакция которой отыскивается, и заменим ее реакцией: Без правой опоры балка может поворачиваться под действием активных сил, реакцию R B причисляем к активным силам. Зададим малое возможное перемещение: Лекция 4 ( продолжение – 4.5 – дополнительный материал ) Кинематический способ определения реакций и усилий. Способ основывается на принципе возможных перемещений: 14 Принцип возможных перемещений – Для равновесия материальной системы, подчиненной стационарным, двухсторонним и идеальным связям, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении из предполагаемого положения равновесия равнялось нулю: Стационарные связи – не зависящие от времени. Двухсторонние связи – препятствующие перемещениям в обоих противоположных направлениях (жесткая заделка, шарнир, стержень являются двухсторонними связями, нить, гладкая поверхность – односторонние связи). Если связь односторонняя, то достаточно просто не рассматривать в качестве возможных перемещений перемещения, соответствующие тому направлению, в котором связь не может удерживать объект, например, в направлении отрыва объекта от гладкой поверхности. Идеальные связи – работа которых на любом возможном перемещении равна нулю. Если связь не идеальная, то реакция такой связи должна быть причислена к действующим (активным) силам, например, сила трения шероховатой поверхности добавляется к активным силам. Возможные перемещения – бесконечно малые перемещения, допускаемые наложенными на систему связями. Возможные перемещения не зависят от приложенных к системе сил. Вычисление возможных перемещений: - в силу малости возможных перемещений при повороте твердого тела любая его точка может рассматриваться движущейся не по дуге, а по перпендикуляру к радиусу вращения в сторону угла поворота: x A O бxAбxA бyA=бsAбyA=бsA Для малых углов cos 1, sin, тогда: Возможная работа силы – элементарная работа силы на том или ином возможном перемещении: Примеры использования принципа возможных перемещений для определения реакций связей: Пример 1. Определить реакцию балки в правой опоре: A B a l б бsPбsP бsBбsB Запишем сумму работ: Вычислим возможные перемещения: Пример 2. Определить опорный момент многопролетной составной балке в левой опоре: б бsPбsP бsBбsB Отбросим в жесткой заделке связь, препятствующую повороту балки, и заменим ее парой сил M A : MAMA A B a l l C D E b b бsDбsD Вычислим возможные перемещения: Запишем сумму работ: Заметим, что 1. для нахождения опорного момента M A из уравнений статики потребовалось бы решить как минимум три уравнения равновесия; 2. эпюра возможных перемещений пропорциональна линии влияния усилия; 3. если задать возможное перемещение для искомой реакции равным 1, например, б =1, то эпюра перемещений будет полностью тождественна линии влияния поскольку