Геометрические задачи «С2» по материалам ЕГЭ – 2010

Задачи Нахождение угла между плоскостью основания правильной пирамиды и прямой, соединяющей вершину основания с точкой пересечения медиан боковой грани. Нахождение тангенса угла между плоскостями ACD 1 и A 1 B 1 C 1, в прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Нахождение угла между плоскостью основания правильной пирамиды и прямой, соединяющей середины бокового ребра и ребра основания.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 12 3, SC = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М точка пересечения медиан грани SBC. Решение. S O А В С M K N Пусть К – середина ребра ВС. М – точка пересечения медиан грани SBC, поэтому SM: MK = 2:1. Прямая SO – высота пирамиды. Опустим из точки М перпендикуляр MN, Угол MAN - искомый. Его можно найти из прямоугольного треугольника MAN. 13 Прямая SK – апофема. тогда отрезок AN - проекция отрезка АМ на плоскость основания. 1

Решение. S Из прямоугольного MAN, находим Треугольник АВС - правильный, значит Тогда, Значит, искомый угол равен Ответ: OА В С M KN В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 12 3, SC = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М точка пересечения медиан грани SBC. 1 Из SOA: SOК MNК, k = 3.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями ACD 1 и A 1 B 1 C ) D 1 О AC, так как AD 1 C- равнобедренный, AD 1 =D 1 C. Решение. Ответ:. O А А1А1 B B1B1 C C1C1 D D1D ) Вместо плоскости A 1 B 1 C 1 возьмем параллельную ей плоскость ABC. 1) Построим плоскость ACD 1.. 3) АВСD – квадрат, диагонали АС BD в точке О, О – середина AC, DО AC. 5) Значит, D 1 ОD линейный угол искомого угла. 6) D 1 DО – прямоугольный, тогда

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 8 3, SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой проходящей через середины ребер АS и BC. Решение. K Пусть точка К – середина ребра ВС, SO – высота пирамиды. Опустим из точки М перпендикуляр MN, Угол MКN - искомый. Его можно найти из прямоугольного треугольника MКN. 17 MK – прямая, проходящая через точки М и К. тогда отрезок КN - проекция отрезка КМ на плоскость основания. 3 O N Точка М – середина ребра AS. S А В С M

Из прямоугольного MKN, находим Треугольник АВС - правильный, значит Значит, искомый угол равен Ответ: Из SOA: Решение. K 17 O N S А В С M В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 8 3, SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой проходящей через середины ребер АS и BC т.к. А – общий, N= O=90 7,5 4 4 k = 2, т.к. М середина AS, значит и AN=NO= SOA MNA,

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 3 3, SC = 5. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой МК, где К- середина ребра АС, а точка М делит ребро ВS так что ВМ:MS=3:1. 1 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, в основании которого лежит квадрат со стороной 8, а боковое ребро равно 6, найдите тангенс угла между плоскостями ВC 1 D и A 1 B 1 C 1. 2 Чертеж и подсказка

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра: АВ = 3 3, SC = 5. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой МK, где K- середина ребра АС, а точка М делит ребро ВS так что ВМ:MS=3:1. 1 S А В С 5 K M Пусть точка К – середина ребра AС. Точка М –делит ребро BS так, что ВМ:MS = 3:1. SO – высота пирамиды. Опустим из точки М перпендикуляр MN, Угол MКN - искомый. Его можно найти из прямоугольного треугольника MКN. МК – данная прямая. тогда отрезок NК - проекция отрезка МК на плоскость основания. O N Ответ:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, в основании которого лежит квадрат со стороной 8, а боковое ребро равно 6, найдите тангенс угла между плоскостями ВC 1 D и A 1 B 1 C 1. 2 А А1А1 B B1B1 C C1C1 D D1D ) С 1 О ВD, так как BDC 1 - равнобедренный, DC 1 =C 1 В. 2) Вместо плоскости A 1 B 1 C 1 1) Построим плоскость ВC 1 D.. 3) АВСD – квадрат, диагонали АС BD в точке О, О – середина AC, DО AC. 5) Значит, С 1 ОС - искомый угол. 6) С 1 СО – прямоугольный, тогда возьмем параллельную ей плоскость ABC. O Ответ:

ru/images/results.aspx?qu=%D1%81%D0%BC%D0%B0%D0%B9 %D0%BB%D1%8B Использованные ресурсы Тексты задач взяты с сайта Александра Ларина: Рисунок на слайдах 2 и 8 взяты с сайта: Для создания шаблона презентации использовалась картинка и шаблон с сайта