Курс лекций по теоретической механике Динамика (II часть) Бондаренко А.Н. Москва Электронный учебный курс написан на основе лекций, читавшихся автором для студентов, обучавшихся по специальностям СЖД, ПГС и СДМ в НИИЖТе и МИИТе ( гг.). Учебный материал соответствует календарным планам в объеме трех семестров. Для полной реализации анимационных эффектов при презентации необходимо использовать средство просмотра Power Point не ниже, чем встроенный в Microsoft Office операционной системы Windows-ХР Professional. Запуск презентации – F5, навигация – Enter, навигационные клавиши, щелчок мыши, кнопки. Завершение – Esc. Замечания и предложения можно послать по Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра теоретической механики Научно-технический центр транспортных технологий

Лекция 10. Лекция 10 Пример решения задач на использование теоремы об изменении кинетической энергии системы. Потенциальное силовое поле. Силовая функция. Потенциальная энергия системы. Закон сохранения механической энергии.

Пример решения задачи на применение теоремы об изменении кинетической энергии для системы – Массивный бумажный рулон радиуса R, приведенный в движение толчком, катится без проскальзывания по инерции вверх по наклонной шероховатой плоскости под углом к горизонту с некоторой начальной скоростью. Коэффициент трения качения f k. Определить начальную скорость рулона, необходимую для того, чтобы он мог перевалить через вершину высотой H от начального положения. Дано:, f k, H, R Найти: v 0 1. Выбираем объект - рулон 2. Отбрасываем связи – опорную плоскость 3. Заменяем связи реакциями – N, F тр, M к 4. Добавляем активные силы – G 5. Записываем теорему об изменении кинетической энергии для твердого тела: Кинетическая энергия на вершине равна нулю: Работа сил, приложенных к объекту, равна: Работа нормальной реакции равна нулю: Работа силы тяжести: Работа момента сопротивления качению: Подставляем определенные величины в теорему: Заметим, что выражение для начальной скорости не зависит от массы рулона. Масса рулона, как мера инертности, будет влиять на величину усилия, которое должно быть приложено к телу, чтобы сообщить ему указанную начальную скорость. Кинетическая энергия в начальный момент времени равна: Момент инерции массы сплошного цилиндра равен: Угловая скорость равна: Тогда кинетическая энергия в начальный момент времени: Работа силы трения скольжения равна нулю (приложена в МЦС): Момент сопротивления качению: Разность углов поворота рулона: После некоторых сокращений и преобразований получаем: Лекция 10 Потенциальное силовое поле Силовое поле – пространство, в каждой точке которого на материальную точку действуют силы, зависящие от координат точки. Стационарное силовое поле – действующие силы которого не зависят от времени, F = F(x, y,z) (поле силы тяжести, поле силы упругости). Нестационарное силовое поле - действующие силы которого зависят от времени, F = F(x, y,z, t) (электромагнитное поле). 5

Потенциальное силовое поле – в котором существует функция, в каждой точке пространства удовлетворяющая соотношениям: где U = U(x, y, z) – силовая функция. Лекция 10 ( продолжение – 10.2 ) Силовая функция определяется с точностью до постоянной: Основные свойства силовой функции: 1. Элементарная работа силы потенциального поля равна полному дифференциалу силовой функции: 2. Полная работа силы потенциального поля не зависит от траектории перемещения точки и равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях: Следствие: Работа силы потенциального поля при перемещении точки по замкнутой траектории равна нулю: x y z Потенциальная энергия системы – функция, характеризующая запас энергии (потенциальной энергии) в данной точке потенциального силового поля. Потенциальная энергия равна работе сил потенциального поля, действующих на материальную точку, при ее перемещении из данного положения в начальное (нулевое). Для системы материальных точек потенциальная энергия равна сумме работ сил потенциального поля на всех перемещениях точек системы в начальное положение. Величина потенциальной энергии в начальном положении принимается равной нулю: П(x 0,y 0,z 0 ) = 0. В произвольной точке потенциальная энергия является функцией координат: П(x,y,z). Тогда по определению: – связь потенциальной энергии с силовой функцией. С учетом: П(x 0,y 0,z 0 ) = 0 соотношение связи можно записать как разность: Поскольку потенциальная энергия также определена с точностью до постоянной, то работа силы потенциального поля на перемещении из точки M 0 в точку M равна: Таким образом, изменение потенциальной энергии равно и обратно по знаку изменению силовой функции. Тогда: и 6

Лекция 10 ( продолжение 10.3 ) Примеры потенциальных силовых полей Поле силы тяжести. Сила тяжести, работа которой не зависит от траектории, является примером силы, имеющей потенциал – геометрическое место точек пространства, в которых потенциальная энергия постоянна. Проекции силы тяжести на координатные оси равны: Последнее выражение есть дифференциальное уравнение, которое легко решается разделением переменных и интегрированием левой и правой частей: x y z x y z Эквипотенциальные поверхности (П = const) представляют собой горизонтальные плоскости. Сила тяжести направлена перпендикулярно к этим плоскостям в сторону уменьшения значений потенциальной энергии. Работа силы тяжести на перемещении из точки M 1 в точку M 2 : Поле центральной силы притяжения. Силы тяжести могут считаться параллельными и постоянными по величине только в небольшой области пространства в поле тяготения Земли и эквипотенциальные поверхности могут считаться плоскими только в пределах этой области. В случае рассмотрения силы притяжения к центру величина силы прямо пропорциональна массе и обратно пропорциональна квадрату расстояния между материальной точкой и центром тяготения O: x y z x y z Проекции силы притяжения на координатные оси равны: Элементарная работа силы притяжения: Дифференциал потенциальной энергии: Полученное выражение есть дифференциальное уравнение, которое легко решается интегрированием левой и правой частей: Эквипотенциальные поверхности (П = const) поля центрального тяготения представляют собой сферические поверхности с центром в точке O. Сила притяжения направлена по нормали к этим поверхностям в сторону уменьшения значений потенциальной энергии. O Закон сохранения механической энергии – При движении механической системы в стационарном потенциальном поле полная механическая энергия системы остается постоянной. По теореме об изменении кинетической энергии системы: Отсюда: Сумму кинетической и потенциальной энергий называют полной механической энергией системы. 7