Веревкина А.В. Разложение электромагнитного поля резонатора по пространственно локализованным базисным функциям Харьков

Электромагнитные взаимодействия описаны в тер- минах трехмерного (скалярно-векторного) потенци- ального формализма, Для краткости все уравнения приведены для векторного потенциала Переход к полевому формализму: Уравнение ДАламбера: Уравнение непрерывности тока:

В работе исследуется прямоугольный резонатор с однородными граничными условиями (ГУ) первого, второго рода или периодичности на всех границах для всех составляющих потенциала Решение уравнения ДАламбера осуществляется путем разложения потенциала в ряд по базисным функциям резонатора, зависящим от пространственных координат Основным приближением модели является финитность спектра потенциала в области волновых чисел, обеспечивающая конечность указанного ряда

Наиболее известными базисными функциями являются собственные функции резонатора, определяемые как решения задачи о собственных значениях для оператора Лапласа – 2 : Ряд по собственным функциям называется рядом Фурье. Поскольку уравнение ДАламбера допускает разделение переменных, без ограничения общности далее можно рассматривать двух- или одномерную колебательную систему Условие ортогональности собственных функций:

Примеры собственных функций двумерного прямоугольного резонатора:

Достоинство собственных функций – ортогональ- ность, позволяющая решать задачу о собственных значениях независимо для каждой из функций. Недостаток – распределенность в пространстве, приводящая к медленной сходимости ряда Фурье для потенциала коротких (сверхширокополосных) электромагнитных импульсов Эквивалент уравнения ДАламбера при разложении потенциала по собственным функциям:

Парциальные функции определяются как локализо- ванные в пространстве линейные комбинации собственных функций колебательной системы. Первые 5 собственных функций одномерной колеба- тельной системы с однородными ГУ первого рода:

5 линейных комбинаций собственных функций: Взаимные преобразования собственных и парциальных функций:

Примеры парциальных функций двумерного прямоугольного резонатора:

Задача о m-м собственном значении матрицы N×N взаимных волновых чисел парциальных осцилляторов (m = 0 … N – 1) : Парциальные функции можно определить также как локализованные в пространстве решения задачи о взаимных значениях для оператора Лапласа – 2 : F em – m-й собственный вектор матрицы взаимных волновых чисел, он же m-я строка матрицы [ F ]

Расчет матрицы взаимных значений:

Ограниченная в пространстве парциальная функция одномерной колебательной системы и ее спектр в базисе собственных функций этой системы:

… , , , , … +0, , , , , , , … +0, , , , , , , , , , … +0, , , , , Собственные значения одномерной колебательной системы с периодическими ГУ:

Собственные значения одномерной колебательной системы с ГУ второго рода: … , , , , , , , … +0, , , , , , , , , , , , … +0, , , , , , , , , , , , … +0, , , , ,