1 ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ И ВРЕМЕНИ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОРБИТ, ИСПЫТЫВАЮЩИХ ГРАВИТАЦИОННОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ СО СТОРОНЫ ВНЕШНИХ ТЕЛ В.И. Прохоренко Институт космических исследований РАН Ноябрь 2001

2 СОДЕРЖАНИЕ Интегралы для спутникового варианта пространственной ограниченной круговой задачи трех тел Геометрическое исследование интегралов c 1, c 2 Учет конечного размера центрального тела Отображение начальных условий в область значений констант c 1, c 2 Примеры выбора орбит с учетом проблемы соударения с центральным телом Анализ периода эволюции и времени баллистического существования Примеры выбора орбит с учетом времени баллистического существования Сопоставление численных и аналитических расчетов времени баллистического существования на примере орбиты Хвостового зонда проекта ИНТЕРБОЛ

3 Интегралы для спутникового варианта пространственной ограниченной круговой задачи трех тел, полученные М.Л. Лидовым в 1961 c 0 = a; (1) c 1 = cos 2 i; (2) c 2 = (1- ) (2/5 - sin 2 sin 2 i) (3) a - большая полуось орбиты ИСЗ ; = 1 - e 2 ; e - эксцентриситет; i - наклонение орбиты ИСЗ к плоскости орбиты возмущающего тела ; - аргумент перицентра, измеренный от линии узлов на плоскости орбиты возмущающего тела. c 0 = a 0 ; c 1 = 0 cos 2 i 0 ; c 2 = (1- 0 ) (2/5 - sin 2 0 sin 2 i 0 ) (4) *

4 Начало совпадает с притягивающим центром S радиус – с параметром (0 1) ; ко-широта – с наклонением i (0 180°); долгота – с аргументом перицентра (0 360°). Соответствующая прямоугольная система координат Плоскость OXZ параллельна плоскости орбиты возмущающего тела J; Экваториальная плоскость OXY перпендикулярна к плоскости орбиты возмущающего тела; Ось OY направлена по нормали к плоскости орбиты возмущающего тела. Сферическая система координат

5 Геометрическое исследование интегралов c 1, c 2 Сечения поверхностей c 1 = const диаметральными плоскостями: = 0, 180 (а) = 90, 270 (б) Линии c 2 = const на поверхностях: c 1 = 0.2 (в) c 1 = 0.7 (г)

6 Учет конечного размера центрального тела Формула М.Л. Лидова для вычисления значения *, соответствующего соударению с центральным телом радиуса R орбиты с большой полуосью a : R p = R; e = 1-R/a; * = 1 - (1-R/a) 2 (5) Введем безразмерный параметр a * = a / R, тогда * = (2a * -1)/a * 2 (6) Зависимость * от безразмерного параметра a *

7 Косой штриховкой показаны области значений c 1, c 2, соответствующие орбитам с конечным временем баллистического существования при a * = 16 при a * = 8 c1c1 c2c2 c1c1 c 1 < c 2 */ (1- *) +3/5 – неравенство Ю.Ф. Гордеевой, 1968

8 a * = 8 c 1 = 0.1, c 2 = 0.1 c 1 = 0.1, c 2 = -0.1 Пересечения поверхности c 1 = 0.1 со сферами радиуса * и 0 показано соответственно утолщенной и пунктирной линиями. Точки старта показаны светлыми символами точки падения – темными Эволюция орбит с конечным временем баллистического существования

9 Отображение координатной сетки 0, i 0 сферической поверхности 0 = 0.4 в ограниченную треугольником косоугольную сетку в области c 1, c 2 Отображение начальных условий в область c 1, c 2 c1c1 c2c2

10 К выбору орбит с учетом проблемы соударения с центральным телом (1) a = 8 R E, h p0 = 5000 км, e 0 = 0.777, 0 = 0.4 i 0 = 45, 0 = -90 i 0 = 45, 0 = -45 i 0 = 60, 0 = -30 Штриховкой отмечена область значений с 1, с 2, которым соответствуют орбиты с конечным временем баллистического существования c2c2 c1c1

11 К выбору орбит с учетом проблемы соударения с центральным телом (2) a = 8 R E, h p0 = 1000 км, e 0 =0.855, 0 = 0.27 i 0 = 45, 0 = -90 i 0 = 45, 0 = -45 i 0 = 60, 0 = - 30 Штриховкой отмечена область значений с 1, с 2, которым соответствуют орбиты с конечным временем баллистического существования c2c2 c1c1

12 Период эволюции и время баллистического существования Для вычисления времени баллистического существования орбит, эволюция которых заканчивается соударением с центральным телом, также как и для вычисления периода эволюции, в дополнение к интегралам (1), (2), (3), будем пользоваться полученной М.Л Лидовым квадратурой: (7) (8) где N – порядковый номер оборота спутника, M – масса центрального тела; M k, a k, k – соответственно масса, большая полуось и параметр орбиты возмущающего тела.

13 Период эволюции и время баллистического существования Для вычисления периода используются пределы интегрирования min, max, а для вычисления времени баллистического существования - 0, *. Будем пользоваться полученным в известной работе Ю.Ф. Гордеевой 1968 г выражением этой квадратуры через эллиптический интеграл первого рода. Обозначим L c удвоенную квадратуру, вычисленную в пределах min, max, и, следуя работе Ю.Ф. Гордеевой, запишем выражение для периода T эволюции орбитальных элементов e, i, умножив слева и справа выражение (7) на кеплеров период обращения точки P по ее орбите : (9) Рассмотрим как выглядит функции L c (c 1, c 2 ) в области возможных значений этих параметров.

14 Сечение поверхности L c (c 2, c 1 ) плоскостями c 1 = const a) 0 c 1 < 1 б) 0 c 1 < 0.6 c2c2 L c

15 c1c1 c2c2 Линии уровня функции Lc (c 2,c 1 )

16 Время баллистического существования Обозначим L r ( c 1, c 2, a, 0, 0 ) неполный эллиптический интеграл первого рода, соответствующий квадратуре (7), вычисленной в пределах 0, * (исходя из начального значения 0 ). Аналогично выражению (9) запишем выражение для времени баллистического существования T r : (10) Мажорантой для функции L r (c 1, c 2, a, 0, 0 ) является функция L b (c 1, c 2, a), вычисленная в пределах *, * (исходя из начального значения 0, принадлежащего II или IV четверти ). Имеет место следующее очевидное неравенство: L r (c 1, c 2, a, 0, 0 ) < L b (c 1,c 2,a) < L c (c 1,c 2 ) (11) Рассмотрим как выглядит функция L b (c 1, c 2, a) в области возможных значений параметров c 1, c 2 при a = 8 R.

17 Линии уровня функции L c (c 1,c 2 ) и мажоранты L b (c 1,c 2, a * ) при a * = 8 c1c1 c2c2

18 a = 8 R E, h p0 =5000км, e 0 = = 0.4 i 0 =45, 0 =-90, Lc = i 0 =45, 0 =-45, Lc = 9 i 0 =60, 0 =-30, Lb = 6 Линии уровня показывают значения параметров L b для орбит с конечным временем баллистического существования и L c для остальных орбит К выбору орбит ИСЗ с учетом длительности баллистического существования c1c1 c2c2

19 Анализ периода эволюции элементов орбиты и времени баллистического существования Преобразуем выражение (9) для периода T, чтобы более выпукло показать роль остальных сомножителей (12) Введем характерный размер l, характерное время и безразмерные переменные: Введем следующие безразмерные параметры: - параметр подобия орбит ; - параметр подобия возмущений

20 Анализ периода эволюции элементов орбиты и времени баллистического существования Запишем выражение безразмерного периода T * через L c и параметр подобия возмущений L D : (13) Далее, выразим T * через L c и безразмерный коэффициент Q: (14 )

21 Анализ периода эволюции элементов орбиты и времени баллистического существования Введем следующие численные значения характерного размера l = R E = км и времени =365 сут В таблице 1 приведены численные значения параметра подобия возмущений L D для систем: Земля – Луна – ИСЗ, Земля – Солнце – ИСЗ, Земля – Луна + Солнце – ИСЗ. А также численные значения коэффициента Q для двух значений большой полуоси: a * = 8, a * = 16.

22 Таблица 1. Численные значения параметра подобия возмущений L D и коэффициента Q Система тел Земля - Луна - ИСЗ Земля - Солнце - ИСЗ Земля - Луна + Солнце - ИСЗ LDLD Q при a * = Q при a * =

23 ИНТЕРБОЛ ХВОСТОВОЙ ЗОНД a * = 16.12, * = 0.12, L c = 6.42, L b = 4.11 (03/08/ /10/2000) М S Т Эволюция радиуса перигея и время существования, рассчитанные с учетом гравитационных возмущений от Луны (M) и Солнца (S) отдельно и совместно (T)

24 ИНТЕРБОЛ ХВОСТОВОЙ ЗОНД a * = 16.12, * = 0.12, L c = 6.42, L b = 4.11 (03/08/ /10/2000) Метод расчета С учетом возмущения от Луны С учетом возмущения от Солнца С учетом возмущения от Луны и Солнца Численный Аналитический Таблица 2. Значения времени баллистического существования (в годах), рассчитанные численно и аналитически

25 Список литературы 1. Лидов М.Л. Эволюция орбит искусственных спутников планет под действием гравитационных возмущений внешних тел // Искусственные спутники Земли С Моисеев Н.Д. О некоторых основных упрощенных схемах небесной механики, получаемых при помощи осреднения ограниченной круговой проблемы трех точек // Труды ГАИШ Т. 16. Ч.1 с Гордеева Ю.Ф. Зависимость элементов от времени в долгопериодических колебаниях в ограниченной задаче трех тел // Космич. Исслед Т С. 536