2 Э Т А П Получение интегральных соотношений для G-функций Мейера, связанных с представлениями трехмерной и четырехмерной собственных групп Лоренца Вычисление матричных элементов переходов между базисами пространств представления и вывод соответствующих интегральных соотношений Работа выполняется в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 – 2013 годы (С) МГГУ им. М. А. Шолохова, 2010

Целью второго этапа исследования было вычисление матричных элементов линейных операторов пространств представления, переводящих некоторый базис в другой базис, а также вывод из полученных матричных элементов новых интегральных соотношений для G- функций Мейера. В качестве пространства представления использовалось пространство бесконечно дифференцируемых функций на конусе или, отвечающих условию -однородности:. Представление групп Лоренца в пространствах задается по формуле.

В случае трехмерной группы Лоренца были выделены следующие три контура на конусе, по одному разу пересекающие каждую образующую (может быть, за исключением одной): окружность :, парабола : и гипербола :. Указанные контуры были параметризованы следующим способом:,,.

В случае четырехмерной группы были выделены аналогичные контуры: сфера :, параболоид : и гиперболоид :. Эти контуры были параметризованы так:

В случае трехмерной группы Лоренца на контурах, и введены и продолжены по однородности на весь конус следующие базисы соответственно:

Для случая четырехмерной группы Лоренца выполнен аналогичный процесс. Полученные базисы, в отличие от трехмерного случая, уже содержат специальные функции (многочлены Гегенбауэра, функции Бесселя и Лежандра). В частности, их сужения на контуры с учетом указанной выше параметризации имеют вид: и

В трехмерном случае из разложения получается формула для матричных элементов перехода между базисами, где билинейный функционал, не зависящий от контура. Аналогично получаются формулы для матричных элементов перехода между другими базисами, а также формулы для четырехмерного случая.

Вычисляя таким образом матричные элементы, мы можем выразить их через функции Мейера. Например, при и

Из формул для матричных элементов композиции двух переходов между базисами получаются интегральные соотношения. Например, формула, приводит к соотношению

Пусть Тогда функция как функция от является -однородной и, следовательно,. Уравнения вида при всех описывают двуполостные гиперболоиды в пространстве. Если и, то интегральный оператор назовется преобразованием Пуассона. Аналогично определяется преобразование Пуассона для четырехмерного случая. Оно не зависит от контура на конусе.

Преобразование Пуассона, примененное, например, к обеим частям разложения, приводит к еще одному интегральному соотношению: где, и.

Аналогично получаются соотношения для любой другой пары базисов в трехмерном и четырехмерном случаях. В некоторых частных случаях получаются соотношения для других функций: например, интегральное представление функции Лежандра

а также частный случай преобразования Меллина квадрата функции Макдональда и функции Мейера