Велик ли мир правильных многогранников? Ученицы 11 класс Ивановой Виктории

Цель исследования: Узнать зависит ли существование правильного многогранника от количества вершин, рёбер и граней?

Задачи исследования: Научиться находить и извлекать необходимую информацию в условиях её обилия. Связать воедино теоретическую и прикладную линии данной темы.

Гипотеза: Мы думаем, что в природе не существует больше пяти, известных нам, правильных многогранников.

План исследования: Правильные многогранники Применение теоремы Эйлера Теорема Эйлера

Многогранник - это Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называемых гранями многогранника Тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, называемых гранями многогранника

Выпуклый многогранник называется правильным, если: Его грани - правильные многоугольники Его грани - правильные многоугольники В вершине сходится одно и то же число ребер В вершине сходится одно и то же число ребер Все многогранные углы – равны Все многогранные углы – равны Правильные многогранники Существует пять типов правильных выпуклых многогранников.

1) Правильный тетраэдр Грани – правильные треугольники Грани – правильные треугольники В каждой вершине сходится по три ребра В каждой вершине сходится по три ребра Имеет всего четыре грани Имеет всего четыре грани В переводе с греческого – «четырехгранник»

Все грани – квадраты Все грани – квадраты В каждой вершине сходится по три ребра В каждой вершине сходится по три ребра Представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами Представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами 2)Куб - Гексаэдр3)Октаэдр Грани – правильные треугольники Грани – правильные треугольники В каждой вершине сходится по четыре ребра В каждой вершине сходится по четыре ребра Поверхность состоит из 8 правильных треугольников Поверхность состоит из 8 правильных треугольников

4)Додекаэдр5)Икосаэдр Грани – правильные треугольники Грани – правильные треугольники В каждой вершине сходится по пять ребер В каждой вершине сходится по пять ребер Поверхность состоит из 20 правильных треугольников Поверхность состоит из 20 правильных треугольников Грани – правильные пятиугольники В каждой вершине сходится по три ребра Поверхность состоит из 12 правильных пятиугольников

Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство В – Р + Г = 2 где В – число вершин Р – число ребер Г – число граней данного многогранника Это свойство связывает число вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером и получившее название теоремы Эйлера Теорема Эйлера

Дан правильный многогранник: грани n-угольники, в вершине сходится m-рёбер. Ясно, что m,n больше или равны трём. В- вершины, Р-рёбра, Г-грани многогранника. В- вершины, Р-рёбра, Г-грани многогранника. Тогда nГ=2Р; Г=2Р/n; mВ=2Р; В=2Р/m. Тогда nГ=2Р; Г=2Р/n; mВ=2Р; В=2Р/m. По теореме Эйлера В-Р+Г=2, значит 2Р/m-Р+2Р/n=2. По теореме Эйлера В-Р+Г=2, значит 2Р/m-Р+2Р/n=2. Отсюда, Р= 2mn:(2n+2m-mn). Из этого равенства следует, что 2n+2m-mn>0,отсюда (n-2)(m-2) 0,отсюда (n-2)(m-2)< 4. Следовательно, если n и m равны 4 и более, то они не удовлетворяют неравенству, значит соответствующих многогранников не существует. Таким образом, мы доказали справедливость нашей гипотезы.

СодержаниеВывод Используя теорему Эйлера, мы доказали, что в природе не существует больше пяти правильных многогранников. Используя теорему Эйлера, мы доказали, что в природе не существует больше пяти правильных многогранников. Изучая геометрию, мы научимся правильно думать, убедительно рассуждать, хорошо представлять себе пространственные формы, увидеть и почувствовать их красоту.

Информационные ресурсы Математика. Учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября». М., «Первое сентября» , 22., , 16. Математика в школе. Научно-методический журнал, М., Школьная пресса, Тихонов А.Т. Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике. М., Наука, mat.1september.ru uztest.ru