Задачи на максимум и минимум

Задача Льва Толстого

A DC B H По теореме Пифагора Он путь нашел довольно скоро

В роковой для своей жизни день Пахом прошел верст, идя по сторонам трапеции. Его первоначальным намерением было идти по сторонам прямоугольника; трапеция же получилась случайно, в результате плохого расчета. Трапеция или прямоугольник ? выгадал он или прогадал от того, что участок его оказался не прямоугольником, а трапецией? В каком случае он должен был получить большую площадь земли? Интересно Решение. Прямоугольников с периметром в 40 верст может быть очень много, и каждый имеет другую площадь. Однако возможны и такие прямоугольники с тем же периметром, площадь которых меньше, чем у трапеции. У каждого из этих прямоугольников при одном и том же периметре в 40 верст площадь больше, чем у нашей трапеции. Следовательно, на вопрос задачи нельзя дать определенного ответа. Есть прямоугольники с большей площадью, чем трапеция, но есть и с меньшей, при одном и том же периметре.

В роковой для своей жизни день Пахом прошел верст, идя по сторонам трапеции. Его первоначальным намерением было идти по сторонам прямоугольника; трапеция же получилась случайно, в результате плохого расчета. Трапеция или прямоугольник ? Следовательно, на вопрос задачи нельзя дать определенного ответа. Есть прямоугольники с большей площадью, чем трапеция, но есть и с меньшей, при одном и том же периметре. Площадь квадрата больше! Зато можно дать ответ на вопрос: какая из всех прямоугольных фигур с заданным периметром заключает самую большую площадь? Итак, я выдвинул предположение, что из всех прямоугольных фигур, с заданным периметром, квадрат имеет наибольшую площадь.

Замечательное свойство квадрата Теорема 1. Квадрат имеет наибольшую площадь из всех прямоугольников с таким же периметром

Замечательное свойство квадрата Теорема 2. Из всех прямоугольников с одинаковой площадью квадрат имеет наименьший периметр

Знакомство с этими свойствами квадрата помогло бы Пахому правильно рассчитать свои силы и получить прямоугольный участок наибольшей площади. Зная, что он может пройти в день без напряжения сил, скажем 36 верст, он пошел бы по границе квадрата со стороной 9 верст и к вечеру был бы обладателем участка в 81 кв. версту, - что на 3 кв. версты больше, чем он получил.

Знакомство с этими свойствами квадрата помогло бы Пахому правильно рассчитать свои силы и получить прямоугольный участок наибольшей площади. Но может быть, Пахому еще выгоднее было бы выкроить себе участок вовсе не прямоугольной формы, а какой-нибудь другой – четырехугольной, треугольной, пятиугольной и т.д.? И наоборот, если бы он наперед ограничился какою-нибудь определенной площадью прямоугольного участка, например в 64 кв.верст, то мог бы достичь результата с наименьшей затратой сил, идя по границе квадрата, сторона которого 8 верст.

Теорема 3. Среди всех замкнутых линий, данной длины, окружность охватывает наибольшую площадь площадью

Мы сделали выводы 1.Что из всех четырехугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. 2. Из всех треугольников с равными периметрами равносторонний обладает наибольшей площадью 3. Квадрат имеет большую площадь, чем равносторонний треугольник равного периметра. 4. Но если сравнивать площадь квадрата с площадью пятиугольника, шестиугольника и т.д. равного периметра, то здесь его первенство прекращается: правильный пятиугольник обладает большей площадью, правильный шестиугольник – еще большей и т.д. 5. Среди всех замкнутых линий, данной длины, окружность охватывает наибольшую площадь

Задачи, которые мы рассматривали, рассматривают вопрос со стороны как бы экономической: при данной затрате сил (например, при прохождении 40-верстного пути), как достигнуть наивыгоднейшего результата (охватить наибольший участок)? В математике вопросы подобного рода носят название Задачи на максимум и минимум Они могут быть весьма разнообразны по сюжетам и степени трудности. Многие разрешаются лишь приемами высшей математики, но … есть и такие задачи, для решения которых достаточно самых элементарных сведений: любопытное свойство произведения равных множителей

Произведение множителей, имеющих постоянную сумму Теорема. Произведение достигает наибольшей величины, когда множители равны между собой Это произведение больше!

Мы рассмотрели и решили следующие задачи

1. Доказать, что среди а) прямоугольников, б) ромбов с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. в) Какими должны быть стороны вписанного в окружность прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? 2. Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь? 3. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? 4. Площадь прямоугольника составляет Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим? 5. Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью 2500 Каковы должны быть ее размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки «рабицы»?. Задачи 6. Дана прямая и две точки, лежащие а) по разные стороны, б) по одну сторону от прямой. Найдите такую точку на прямой, что принимает наименьшее значение.

А на последок… При помощи ножниц вырежьте в тетрадном листе дырку, через которую мог бы пролезть слон !

Это всё, что мы хотели ВАМ сегодня рассказать ! Дальше есть решения задач. Можно посмотреть

Решение задач

Задача 1. Доказать, что среди а) прямоугольников, б) ромбов с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. в) Какими должны быть стороны вписанного в окружность прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? Доказательство. периметр квадрата и периметр прямоугольника (дано, что эти периметры равны). 1) периметр квадрата => сторона квадрата => его площадь; 2) Чтобы из квадрата сделать прямоугольник, мы одну из сторону квадрата увеличим на, и она станет тогда для сохранения периметра, другую сторону должны уменьшить на и она станет 3) Площадь прямоугольника а) Пусть

Задача 1. Доказать, что среди а) прямоугольников, б) ромбов с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. в) Какими должны быть стороны вписанного в окружность прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? Доказательство. 3) Сравним площади квадрата и прямоугольника: т.к. б) Пусть периметр ромба => сторона ромба => т.к.

Задача 1. Доказать, что среди а) прямоугольников, б) ромбов с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат. в) Какими должны быть стороны вписанного в окружность прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? Доказательство. в) Из всех прямоугольников наибольшую площадь имеет квадрат. Значит, в окружность вписан квадрат, и тогда его сторона находится из уравнения => Ответ: стороны прямоугольника должны быть равны где - радиус данной окружности.

Из всех прямоугольников с заданным периметром, квадрат имеет наибольшую площадь (по теореме 1). Значит, прямоугольник должен быть квадратом. Задача Решение. Ответ: стороны прямоугольника должны быть равны 14 см и 14 см. 2. Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь? Из всех прямоугольников с заданным периметром, квадрат имеет наибольшую площадь ( по теореме 1). Значит, прямоугольник должен быть квадратом. 3. Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? Решение. По теореме 1 участок должен быть квадратом. Ответ: стороны участка 50 м и 50 м.

Из всех прямоугольников с заданным периметром, квадрат имеет наибольшую площадь (по теореме 1). Значит, прямоугольник должен быть квадратом. Задача Решение. Ответ: стороны прямоугольника должны быть равны 4 см и 4 см. По теореме 2 участок должен быть квадратом. 4. Площадь прямоугольника составляет 16. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим? 5.Огораживают спортивную площадку прямоугольной формы площадью Каковы должны быть ее размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки «рабицы»? Решение. По теореме 2 площадка должна быть квадратной формы. Ответ: размеры площадки 50 м и 50 м.

Задача Решение. 6. Дана прямая и две точки, лежащие а) по разные стороны, б) по одну сторону от прямой. Найдите такую точку на прямой, что принимает наименьшее значение. По неравенству треугольника - наименьшее расстояние между двумя точками

Задача Решение. 6. Дана прямая и две точки, лежащие а) по разные стороны, б) по одну сторону от прямой. Найдите такую точку на прямой, что принимает наименьшее значение. по неравенству треугольника - наименьшее расстояние

Задача Решение. 6. Дана прямая и две точки, лежащие а) по разные стороны, б) по одну сторону от прямой. Найдите такую точку на прямой, что принимает наименьшее значение. 1) Соединим данные точки отрезком а) 2) Построенный отрезок пересекает прямую (т.к. по условию точки лежат в разных полуплоскостях, относительно прямой ) в точке, которую и обозначим за. 3) Тогда сумма будет равна длине отрезка (т.к. эти три точки принадлежат одной прямой). 4) Докажем, что длина отрезка наименьшее расстояние между двумя точками. Предположим, что это неверно и на прямой есть другая точка такая, что Но полученное неравенство противоречит неравенству треугольника Ответ: точка - это точка пересечения с