Треугольник.Треугольник.

Отметим какие- нибудь 3 точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками(рис.1а).Мы получим геометрическую фигуру, которая называется треугольником. Отмеченные три точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника. На рисунке 1, б изображен треугольник с вершинами А, В, С и сторонами АВ, ВС и СА. Такой треугольник будем обозначать так : АВС( читается:»треугольником АВС»). Сумма длин трех сторон треугольника называется его периметром. Две фигуры, в частности 2 треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением. Треугольник а) Треугольник с вершинами А, В, С и сторонами АВ, ВС и СА. б) Рис. 1

Отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Треугольник, две стороны которого равны, называется равнобедренным. Эти две стороны называются боковыми сторонами равнобедренного треугольника. Третья сторона называется основанием равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основание равны. Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним, или правильным. В правильном треугольнике все углы равны.

Простейший из многоугольников – треугольник – играет в геометрии особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся )геометрия со времен «Начал» Евклида покоится на «трех китах»- трех признаках равенства треугольников. Лишь на рубеже XIX- XXвв. математики научились строить геометрию на основе более фундаментального и общего, чем равенство треугольников, понятия геометрического преобразования. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.

Первый признак равенства треугольников. В математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой. Теорема – высказывание, правильность которого установлена при помощи рассуждения, доказательства. Теорема. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники АВС и А1В1С1, у которых АВ=А1В1, АС=А1С1, А= А1. Докажем, что АВС = А1В1С1. Так как А= А1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и А1С1. Поскольку АВ = А1В1, А1С1, АС= А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1, а сторона АС- со стороной А1С1; в частности, совместятся точки В иВ1, С и С1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак треугольники АВС иА1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны. Теорема доказана.

Второй и третий признак равенства треугольников. Второй признак равенства треугольников: Теорема. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Третий признак равенства треугольников: Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Вопросы. 1) Как называется сумма длин трех сторон треугольника? (периметр.) 2) Как называется отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны? (медиана треугольника.) 3)Как называется треугольник, две стороны которого равны? (равнобедренный треугольник.) 4)Как называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону? (высота треугольника.) 5) Как называется треугольник, все стороны которого равны? (равносторонний.)