Приращение функции. Физический смысл производной. Вычисление производной по определению Производная и ее приложения.

Приращение функции 1) Сформулируйте определения приращения аргумента и приращения функции в данной точке x 0. 2) От чего зависит приращение функции при каждом фиксированном x 0 ? 3) Что показывает на графике отношение ?

Физический смысл производной, рассмотрим падение тела с некоторой высоты рассмотрим промежуток t от момента t 0 до t = t 0 + t. Тогда S(t 0 ) = S(t 0 + t) – S(t 0 ) =... = gt 0 t + g( t) 2, то есть, при фиксированном t0 S(t 0 ) зависит только от t ! Для рассматриваемой функции: t – приращение аргумента в точке t 0 ; S(t 0 ) – приращение функции в этой точке. Средняя скорость движения на [t 0 ; t 0 + t] равна: = gt 0 + g t = V 0 + g t. Пусть t 0, тогда Таким образом, для каждого фиксированного момента времени t 0 –равен некоторому числу, которое называется мгновенной скоростью падения тела в момент времени t 0 !

Определение Производной функции в точке x 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю.

Определения. 1) Функция называется дифференцируемой в точке x 0, если f (x 0 ). 2) Функция называется дифференцируемой на множестве I, если она дифференцируема в каждой точке из этого множества. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на I. Тогда x 0 I f (x 0 ). Соответствие {x 0 } {f (x 0 )} определяет новую функцию, которая называется производной функции y = f(x) и обозначается f (x). В чем различие f (x) и f (x 0 )? [функция и число]. Операция вычисления производной функции называется дифференцированием функции.

Вычисление производных по определению 1) f(x) = C. f(x 0 ) = f(x 0 + x) – f(x 0 ) = C – C = 0;. Таким образом,. (С) = 0 2) f(x) = kx + b. f(x 0 ) = f(x 0 + x) – f(x 0 ) = k(x 0 + x) – kx 0 = k x;. Таким образом,. (kx + b) = k

Алгоритм нахождения производной: Зафиксировать значение х 0 и найти f(x 0 ) Дать аргументу х 0 приращение х,и найти f(х 0 + х) Найти приращение у= f(х 0 + х) - f(х 0 ) Составить отношение у/ х Вычислить

Вычислить по определению производные 3) f(x) = ax 2 + bx + c 4) f(x) =. f(0) – не существует (ax2 + bx + c) = 2ax + b ( ) =.

Рассмотрим функцию f(x) = |x| и ее график Докажем по определению, что

А) Пусть x 0 > 0, тогда выберем x так, чтобы x 0 + x > 0. f(x 0 ) = |x 0 + x| – |x 0 | = x;. Б) Пусть x 0 < 0, тогда выберем x так, чтобы x 0 + x < 0. Аналогично получим, что. В) Пусть x 0 = 0, тогда f(x 0 ) = |x 0 + x| – |x 0 |=| x|., не существует, поэтому данная функция не дифференцируема в нуле.

F(x) = |x2 – 6x + 5|. А) Постройте график функции. Б) Найдите f(2) и f(6). B) (по вариантам) Докажите, что в точках x 0 = 1 и x 0 = 5 функция не дифференцируема

f(2) = 2; f(6) = 6 не существует, так как

Домашнее задание Выучить стр163 п1,2,3 и записи Вып.392 (3,5,7) 393(1,2) Cоставить таблицу производных. Вопросы по теории: 1)Сформулируйте определение приращения функции и приращения аргумента. 2) определение производной функции в точке. 3)Физический смысл производной 4)Как называется операция нахождения производной? 5)Какая функция называется дифференцируемой в точке?. 6)Какая функция называется дифференцируемой на отрезке? 7)Алгоритм вычисления производной. 8) Вычислять по определению производные простейших функций.