Метод координат.

Координаты середины отрезка. Дано: А(x1;y1) B(x2;y2) C–середина АВ. Выразить: C (х; y), через А и В. Доказательство: Т.к. С – середина АВ, то ОС= 0,5(ОА+ОВ) Координаты векторов ОС, ОА и ОВ равны координатам точек С, А и В: ОС {х; y}, OA {x1; y1}, OB {x2; y2}. Тогда: x=0.5(x1+x2) ; y=0.5(y1+y2). Вывод. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

Вычисление длины вектора по его координатам. y A2 OA=a{x;y} a А(x;y) O A1 x |а| = х 2 + y 2

Доказательство. Отложим от начала координат вектор ОА = а и проведем через точку А перпендикуляры АА1 и АА2 к осям Ox и Oy. Координаты точки А равны координатам вектора ОА{x;y}. Поэтому ОА1=х, АА1= ОА2 = y. По теореме Пифагора: ОА=ОА1² +АА1²= х²+y² Но а = ОА = ОА, поэтому а = x²+y², что и требовалось доказать.

Расстояние между точками. Дано: М1(x1;y1) М2(x2;y2) Выразить расстояние d между точками М1 и М2. Доказательство: Рассмотрим вектор М1М2{x2-x1;y2-y1}. Следовательно, длина этого вектора может быть найдена по формуле: М1М2=(x2-x1)²+(y2-y1)². Но М1М2 =d. Таким образом, расстояние d между точками М1(x1;y1) и М2(x2;y2)= d=(x2-x1)²+(y2-y1)²