Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций. Уравнения вида sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x - переменная, aR, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Простейшие тригонометрические уравнения: Пример 1. 2sin(3x - p/4) -1 = 0. Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - p/4). sin(3x - p/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а нахо­дим 3х - p/4 = (-1) n arcsin 1/2 + np, nÎZ. Зх - p/4 = (-1) n p/6 + np, nÎZ; 3x = (-1) n p/6 + p/4 + np, nÎZ; x = (-1) n p/18 + p/12 + np/3, nÎZ Если k = 2n (четное), то х = p/18 + p/12 + 2pn/3, nÎZ. Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3 = = p/36 + p/3 + 2pn/3 = 13p/36 + 2pn/3, nÎz. Ответ: х1 = 5p/6 + 2pn/3,nÎZ, x2 = 13p/36 + 2pn/3, nÎZ, или в градусах: х, = 25° · n, nÎZ; x, = 65° + 120°· n, nÎZ. Пример 2. sinx + Öз cosx = 1.

Двучленные уравнения: Пример 1. sin3x = sinx. Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение. sin3x - sinx == 0; 2sinx · cos2x = 0. Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения. sinx = 0 или cos2x = 0. x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ. Ответ: x1 = pn, nÎZ, x2 = p/4 + pn/2, nÎZ.

Разложение на множители: Пример 1. sinx + tgx = sin 2 x / cosx Решение. cosx ¹ 0; x ¹ p/2 + pn, nÎZ. sinx + sinx/cosx = sin 2 x / cosx. Умножим обе части уравнения на cosx. sinx · cosx + sinx - sin 2 x = 0; sinx(cosx sinx) = 0; sinx = 0 или cosx - sinx +1=0; x1 = pn, nÎZ; cosx - cos(p/2 - x) = -1; 2sin p/4 · sin(p/4 - x) = -1; Ö2 · sin(p/4 - x) = -1; sin(p/4 -x) = -1/Ö2; p/4 - x = (- 1) n+1 arcsin 1/Ö2 + pn, nÎZ; x2 = p/4 - (-1) n+1 · p/4 - pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-1) n · p/4 + pn, nÎZ. Если n = 2n (четное), то x = p/2 + pn, если n = 2n + l (нечетное), то x = pn. Ответ: x1 = pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-I) n · p/4 + pn, nÎZ.

Способ подстановки Пример 1. 2 sin 2 x = 3cosx. Решение. 2sin 2 x - 3cosx = 0; 2 (l - cos 2 x) - 3cosx = 0; 2cos 2 x + 3cosx - 2 = 0. Пусть z = cosx, |z| £ 1. 2z z - 2=0. Д = 9+16 = 25; ÖД = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение: cosx = 1/2; х = ± p/3 + 2pn, nÎZ. Ответ: х = ± p/3 + 2pn, nÎZ.

Однородные уравнения Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид: a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или a sin 3 x + b sin 2 x cosx + c sinx cos 2 x + d sin 3 x = 0 и т.д. В этих уравнениях sinx ¹ 0, cosx ¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin 2 x или на cos 2 x и приводятся к уравнениям отно­сительно tgx или ctgx. Пример 1. Ö3sin 2 2x - 2sin4x + Ö3cos 2 2x = 0. Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла. Получим уравнение Ö3sin 2 2x - 4sin2xcos2x + Ö3cos 2 2x = 0. Разделим на cos 2 2x. Уравнение примет вид Ö3 tg 2 2x – 4tg2x + Ö3 = 0. Пусть z = tg2x, тогда Ö3z 2 - 4z + Ö3 = 0; Д = 4; ÖД = 2. z1 = (4 +2)/2Ö3 = 6/2Ö3 = Ö3; z2 = (4 – 2)/2Ö3 = 1/Ö3 tg2x = Ö3 или tg2x = 1/Ö3 2x = p/3 + pn, nÎZ; 2x = p/6 + pn, nÎZ; x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz. Ответ: x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.

Уравнение вида a sinx + b cosx = с Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5. Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1. sinj = 4/5; cosj = 3/5; sin(x+j) = 1, x + j = p/2 + 2pn, nÎZ. Ответ: x = p/2 - arcsin 4/5 + 2pn, nÎZ.

Дробно-рациональные тригонометрические уравнения Уравнения, содержащие тригонометрические дроби, называются дробно-рациональными уравнениями. В этих уравнениях требуется сле­дить за областью допустимых значений. Пример 1. 1/(Ö3-tgx) – 1/(Ö3 +tgx) = sin2x Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения tgx ¹ ± Ö3, х ¹ ± p/8 + pn, nÎZ и х ¹ ± p/2 + pn, nÎZ. Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тан­генс половинного угла. (Ö3 + tgx - Ö3 + tgx)/3 - tg 2 x = 2tgx/ (1 + tg 2 x); 2tgx / (3 - tg 2 x) = 2tgx/(1 + tg 2 x) x1 = pn, nÎZ Второе уравнение имеет вид 2tg 2 x - 2 = 0; tg 2 x = 1; tgx = ±1; x2 = ± p/4 + pn, nÎZ. Ответ: x1 = pn, nÎZ; х2 = ± p/4 + pn, nÎZ.

Иррациональные тригонометрические уравнения Если в уравнении тригонометрическая функция находится под зна­ ком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррацио­нальным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которы­ми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учи­тывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени). Пример 1. Ö( cos 2 x + Ѕ) + Ö( sin 2 x + Ѕ) = 2. Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат. cos 2 x + Ѕ + 2 Ö(( cos 2 x + Ѕ) ( sin 2 x + Ѕ)) + sin 2 x + Ѕ = 4 Ö(( cos 2 x + Ѕ) ( sin 2 x + Ѕ)) = 1; ( cos 2 x + Ѕ) ( sin 2 x + Ѕ) = 1 ( Ѕ + Ѕ cos2x + Ѕ)( Ѕ - Ѕ cos2x + Ѕ) = 1; (1 + Ѕ cos2x) (1 - Ѕ cos2x) = 1; 1 – ј cos 2 2x = 1; cos2x=0; x = p/4 + pn/2, nÎz Ответ: x = p/4 + pn/2, nÎz.

Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функ­ции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют до­полнительного исследования множества решений. Пример 1. tg(x 2 + 5x)ctg 6=1. Решение. Запишем уравнение в виде tg(x 2 +5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х 2 + 5х = 6 + pn, nÎZ; х 2 + 5х - (6+pn) = 0, nÎz; Д = (6 + pn) = pn, nÎZ; х1,2 = (-5 ± Ö(49 + 4pn))/2, nÎz Решение имеет смысл, если pn > 0, т.е. n ³ -49/4p; n ³ -3.