11 класс. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.

Повторяем теорию: Как находят координаты вектора, если известны координаты его начала и конца? Как находят координаты середины отрезка? Как находят длину вектора? Как находят расстояние между точками? Как вы понимаете выражение «угол между векторами»?

Угол между векторами Найдите углы между векторами а и b? a и c? a и d? B и c? d и f? d и c?

Условие коллинеарности векторов: Условие перпендикулярности векторов: Какие векторы называются перпендикулярными?

Задача 441 C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D

Повторяем теорию: Что называется скалярным произведением векторов? Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов? Чему равен скалярный квадрат вектора? Свойства скалярного произведения? 0

Задача 444

Косинус угла между векторами

Задача 451(а) Задача 453

Вычисление углов между прямыми и плоскостями Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называют угол между прямой и её проекцией на плоскость. a A a1a1 )

1. Если a, то проекцией a на является т. А A= a (a, )=90 A a 2. Если a||, a 1 - проекция a на, то a||a 1, a 1. (a, )=0 a1a1 a

Направляющий вектор прямой. Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой, если он лежит на самой прямой, либо на прямой, параллельной ей. а В А

Визуальный разбор задач из учебника (п.48). 1. Найти угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов этих прямых. а)б) θ θ φ = θφ = θ

Ответ:

Визуальный разбор задач из учебника (п.48). 2. Найти угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.. а)б) α а φ θ α а φ φ θ

464 (а) Дано: Найти: угол между прямыми АВ и CD. Ваши предложения… 1.Найдем координаты векторов и 2. Воспользуемся формулой: φ = 30 0

466 (а) Дано: куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 точка М принадлежит АА 1 АМ : МА 1 = 3 : 1; N – середина ВС Вычислить косинус угла между прям. MN и DD 1 C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D 1. Введем систему координат. х у z 2. Рассмотрим DD 1 и МN. М N 3. Пусть АА 1 = 4, тогда 4. Найдем координаты векторов DD 1 и MN. 5. По формуле найдем cosφ. Ответ:

Задача. Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 ; DA = 2; DC = 2; DD 1 = 3. C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D Найти угол между прямыми СВ 1 и D 1 B. х у z Ваши предложения… 1. Введем систему координат D xyz 2. Рассмотрим направляющие прямых D 1 B и CB По формуле найдем cosφ.

467 (а) Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 ; АВ = ВС = ½ АА 1 Найти угол между прямыми ВD и CD 1. C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D 1 способ: 1. Введем систему координат B xyz х у z 2. Пусть АА 1 = 2, тогда АВ = ВС = Координаты векторов: 4. Находим косинус угла между прямыми:

C C1C1 A1A1 B1B1 D1D1 A B D х у z 467 (а) Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 ; АВ = ВС = ½ АА 1 Найти угол между прямыми ВD и CD 1. 2 способ: 1. Т.к. СD 1 || ВА 1, то углы между ВD и ВА 1 ; ВD и СD 1 – равны. 2. В ΔВDА 1 : ВА 1 = 5, А 1 D = 5 3. ΔВDА: по теореме Пифагора 4. По теореме косинусов:

П. 48, 466, (б) – двумя способами.