Кудиновой Яны 9 «Б»класс 2008г.

Глава 1.разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Лемма о коллинеарных векторах.Лемма о коллинеарных векторах. Если векторы а и в коллинеарные и а=0, то существует такое число R, что в=Rа.Если векторы а и в коллинеарные и а=0, то существует такое число R, что в=Rа. Доказательство:Доказательство: для доказательства, возможны два случая. для доказательства, возможны два случая. 1 а в. Возьмем число R=|в| |а|. Так как R0, то векторы Rа и в сонаправлены (рис.1). Кроме того, их длины равны: |Rа|=|R|·|а|=|в| |а|·|а|=|в|.Поэтому в=Rа. 2 а в. Возьмем число R=-|в| |а|. Так как R0, то вектора Rа и в снова сонаправлены.(рис2). Их длины также равны: |Rа|=|R|·|а|=|в| |а|·|а|=|в|. Поэтому в=Rа Лемма доказана. Рис.1Рис.2 а в а а в а R R R=|в|/|а|R=-|в|/|а|

Теорема: любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство: Пусть a и b-данные неколлинеарные вектора. Докажем сначала, что любой вектор p можно разложить по векторам a и b. Возможны два случая. Но мы с вами рассмотрим первый случай. Вектор p коллинеарен одному из векторов a и b, например вектору b. В этом случае по лемме о коллинеарных векторах вектор p можно представить в виде p=y·b, где y-некоторое число, и, следовательно, p=0·a+y·b,т.е. вектор p разложен по векторам a и b. a b c

Понятие прямоугольной системы координат нам известно из курса алгебры. напомним, что для задания прямоугольной системы координат нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрать направление(оно обозначается стрелкой) и выбрать единицу измерения отрезков. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом. В дальнейшем под длиной отрезка мы будем понимать это число. Отложим от начала координат О единичные векторы(т.е. вектора, длины которых равны единице) i и j так, чтобы направление вектора i совпало с направлением оси Ox, а направление вектора j- с направлением оси Oy(рис.1). Вектора i и j назовем координатами вектора. Координатные вектора не коллинеарные, поэтому любой вектор p можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде p=xi+yj, причем коэффициенты разложения (числа х и у) определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p по координатным векторам называются координатами вектора p в данной системе координат. Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках после обозначения вектора: p{x;y}. На рисунке (рис.1) OA{2;1},b{3;-2}. Так, как нулевой вектор можно представить в виде 0=0·i+0·j,то его координаты равны нулю:0{0;0}. Если векторы a=x 1 i+y 1 j и b=x 2 i+y 2 j равны, то х 1 =х 2 и у 1 =у 2. таким образом, координаты равных векторов соответственно равны. х у j i А О В С -2j 3i3i b

Самое главное вам надо запомнить правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения векторов на число. 1! Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.(a+b равны {x 1 +x 2 ;y 1 +y 2 }). 2! Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.(a-b равны{x 1 -x 2 ;y 1 -y 2 }). 3! Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.(т.е. {Rx;Ry})

Задание 1. 3a-xb=ya+b; y=3, x=-1. Задание 2. 4a-xa+5b+yb=0; 4a+5b=xa-yb; x=4, y=-5.

1)a{3;0},2)b{2;-1},3)c{0;-3}. 1) 2) i jax y b j i 3) c 3 i j 2 3