Теория вероятностей и математическая статистика

Вероятностное пространство Событием A (случайным событием, исходом) будем называть состояние объекта, полученное в результате однократного проведения эксперимента. Элементарным событием ω будем называть простейший, неделимый в рамках данного опыта, исход. Появление одного элементарного события исключает наступление любого другого. Все возможные элементарные события образуют множество элементарных событий Ω. Любое событие A рассматривается как некоторое подмножество из Ω: A Ω.

Событие Достоверным называется событие Ω, которое в результате опыта непременно должно произойти. Невозможным называется событие (обозначается ), которое в результате опыта не может произойти. Два события A и B называются совместными, если они могут появиться в результате одного эксперимента. Другими словами, совместные события - это подмножества Ω с непустым пересечением. Два события A и B называются несовместными, если наступление одного исключает наступление другого. События называются равновозможными, если по условиям эксперимента нет оснований считать какое- либо более возможным, чем другое.

Операции над событиями Суммой (объединением) событий A и B (обозначается A + B или A B) называется событие, состоящее из исходов, входящих в A или B. Другими словами, должно иметь место хотя бы одно из событий A или B. Произведением (пересечением) событий A и B (обозначается AB или A B) называется событие, состоящее из исходов, одновременно входящих в A и B. Другими словами, события A и B появляются совместно. Для несовместных событий A и B верно AB =.

Операции над событиями Разностью событий A и B (обозначается A - B или A\B) называется событие, состоящее из исходов, входящих в A, но не входящих в B. Противоположным событием (дополнением) к событию A (обозначается A) называется событие, наступающее всякий раз, когда не происходит событие A. Очевидно, что A = Ω A, и события A и A несовместны.

События Bi образуют полную группу несовместных событий (или, короче, полную группу), если 1. BiBj = для любых i ̸= j; 2. i Bi = Ω, где сумма берется по всем значениям i.

Иллюстрация операций над событиями

Пример Пусть объект - игральная кость, а опыт – бросание кости. Тогда в качестве элементарных событий ω k можно рассматривать выпадение чисел k, где k = 1, 2, Они образуют множество элементарных событий Ω = {ω1,..., ω6}. Событие образует, например, выпадение четного числа очков, достоверное событие выпадение любого числа очков, невозможное событие выпадение 0. Событие A = {выпало четное число очков} и B = {выпало нечетное число очков} являются несовместными и равновозможными. Кроме того, они образуют полную группу несовместных событий. Пусть C = {выпало число очков, кратное трем}. Тогда A + C = {2, 3, 4, 6}, AC = {6}, A C = {2, 4}, C = {1, 2, 4, 5}.

Алгебра событий Алгеброй событий A называется совокупность событий A Ω, таких, что 1. и Ω C, 2. для любых событий A,B C, операции суммы, разности и произведения снова дают событие из C.

Классическое определение вероятности Пусть Ω (омега) - конечное множество и n - общее число возможных элементарных исходов испытания, а m - число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события A. Все элементарные события считаются равновозможными. Вероятность события A определим равенством P(A) = m / n

Вероятность Числовая функция P называется вероятностью, если выполнены следующие условия (аксиомы вероятности): 1. (Аксиома неотрицательности) P(A) 0 для любого события A С. 2. (Аксиома нормированности) P(Ω) = 1 (1.1) 3. (Аксиома сложения) Для любых несовместных событий A и B из C имеет место P(A + B) = P(A) + P(B). (1.2)

Вероятность Из аксиом вытекает ряд полезных свойств вероятности, использование которых упрощает решение многих задач. Равенство A + A = Ω и аксиомы (1.1), (1.2) дают P(A) = 1 P(A) (1.3) Полагая в формуле (1.3) A = Ω, получим P( ) = 0. Для произвольных событий A и B имеет место формула P(A + B) = P(A) + P(B) P(AB) (1.4)

Решение задач 1 На эк­за­мен вы­не­се­но 60 во­про­сов, Ан­дрей не вы­учил 3 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­дет­ся вы­учен­ный во­прос. На эк­за­ме­не 45 би­ле­тов, Федя не вы­учил 9 из них. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ему по­па­ дет­ся вы­учен­ный билет Люба вклю­ча­ет те­ле­ви­зор. Те­ле­ви­зор вклю­ча­ ет­ся на слу­чай­ном ка­на­ле. В это время по че­ты­ рем ка­на­лам из шест­на­дца­ти по­ка­зы­ва­ют му­ зы­каль­ные клипы. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Люба по­па­дет на канал, где клипы не идут.

Решение задач 2 На та­рел­ке 16 пи­рож­ков: 7 с рыбой, 5 с ва­ре­ ньем и 4 с виш­ней. Юля на­у­гад вы­би­ра­ет один пи­ро­жок. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что он ока­жет­ся с виш­ней. Ро­ди­тель­ский ко­ми­тет за­ку­пил 30 паз­лов для по­дар­ков детям на окон­ча­ние учеб­но­го года, из них 15 с пер­со­на­жа­ми мульт­филь­мов и 15 с ви­да­ми при­ро­ды. По­дар­ки рас­пре­де­ля­ют­ся слу­чай­ным об­ра­зом. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Маше до­ста­нет­ся пазл с пер­со­на­жем мульт­филь­мов.

Решение задач 3 В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси. Андрей с папой решил покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать кабинок, из них 9 – белые, 7 – фиолетовые, остальные – оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Андрей прокатится в оранжевой кабинке.

Решение задач 4 В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Игральную кость с 6 гранями бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5

Пример (Парадокс игры в кости) При бросании двух костей как 9, так и 10 может выпасть двумя способами: 9 = = и 10 = = При бросании трех костей оба числа могут быть получены шестью способами. Для 9 это наборы {1,2,6}, {1,3,5}, {1,4,4}, {2,2,5}, {2,3,4}, {3,3,3}, а для 10{1,3,6}, {1,4,5}, {2,2,6}, {2,3,5}, {2,4,4}, {3,3,4}. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10, когда бросают три?

Решение задач 5 Ве­ро­ят­ность того, что новая ша­ри­ко­вая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,19. По­ку­па­тель в ма­га­зи­не вы­би­ра­ет одну такую ручку. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что эта ручка пишет хо­ро­шо.

На эк­за­ме­не по гео­мет­рии школь­ни­ку достаётся одна за­да­ча из сбор­ни­ка. Ве­ро­ят­ ность того, что эта за­да­ча по теме «Углы», равна 0,1. Ве­ро­ят­ность того, что это ока­жет­ ся за­да­ча по теме «Па­рал­ле­ло­грамм», равна 0,6. В сбор­ни­ке нет задач, ко­то­рые од­но­вре­мен­но от­но­сят­ся к этим двум темам. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на эк­ за­ме­не школь­ни­ку до­ста­нет­ся за­да­ча по одной из этих двух тем.

Иг­раль­ную кость бро­са­ют два­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что сумма двух вы­пав­ших чисел равна 4 или 7.

Комбинаторика Пример 7. У 6 мальчиков и 11 девочек имеются признаки инфекционного заболевания. Чтобы проверить наличие заболевания, требуется взять выборочный анализ крови у 2 мальчиков и 2 девочек. Сколькими способами можно это сделать?

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Решeние: По условию на каждые = 108 сумок приходится 100 качественных сумок. Значит, вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна 100: 108 =0,925925…= 0,93

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Решeние: За первые три дня будет прочитан 51 доклад, на последние два дня планируется 24 доклада. Поэтому на последний день запланировано 12 докладов. Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 12 : 75 =0,16

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло, окажется бракованным. Решение. Переводим % в дроби. Событие А - "Куплены стекла первой фабрики". Р(А)=0,3 Событие В - "Куплены стекла второй фабрики". Р(В)=0,7 Событие Х - " Стекла бракованные". Р(А и Х) = 0.3*0.03=0.009 Р(В и Х) = 0.7*0.04=0.028 По формуле полной вероятности: Р = = 0.037

.В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Определим события А = {кофе закончится в первом автомате}, В = {кофе закончится во втором автомате}. По условию задачи Р(А)=Р(В) =0,3 и Р (А/В)=0,12. По формуле сложения вероятностей найдем вероятность события А и В = {кофе закончится хотя бы в одном из автоматов}: Р(А и В) = Р(А) + Р(В) - Р(А/В) = 0,3+0,3-0,12 = 0,48. Следовательно, вероятность противоположного события {кофе останется в обоих автоматах} равна 1-0,48 = 0,52.

21. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит. Решение: Обе перегорят (события независимые и пользуемся формулой произведения вероятностей) с вероятностью p1=0,3 0,3=0,09 Противоположное событие (НЕ обе перегорят = ОДНА хотя бы не перегорит) произойдет с вероятностью p=1-p1=1-0,09=0,91 ОТВЕТ: 0,91