Выполнили: Елкина К.В. Тамбовцева А.А.

Историческая справка Первый закон Второй закон Третий закон

Немецкий математик, астроном, оптик и астролог. Родился в имперском городе Вайль-дер-Штадте. Открыл законы движения планет. 27 декабря 1571 года 15 ноября 1630 года

Это три закона движения планет относительно Солнца. Установлены Иоганном Кеплером в начале XVII века как обобщение данных наблюдений Тихо Браге. Мемориал Кеплера в Вайль-дер-Штадте.

Ранняя геометрическая модель Вселенной Кеплера: шесть орбитальных планетных сфер и пять вписанных правильных многогранников между ними

14 декабря 1546 года 24 октября 1601 года Датский астроном, астролог и алхимик эпохи Возрождения. Проводил систематические и высокоточные астрономические наблюдения.

Памятник Кеплеру и Тихо Браге в Праге.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением, где c расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), a большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При c = 0 и e = 0 эллипс превращается в окружность.

Уравнение движения в направлении равно Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как где G универсальная гравитационная константа и M масса звезды. В результате

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение: для произвольных констант интегрирования e и θ0. Заменяя u на 1/r и полагая θ0 = 0, получим: Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий ближайшая к Солнцу точка орбиты, и апогелий наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии бо́льшую линейную скорость, чем в апогелии.

По определению угловой момент точечной частицы с массой m и скоростью записывается в виде: где r - радиус-вектор частицы, а p=mv - импульс частицы. По определению В результате мы имеем Продифференцируем обе части уравнения по времени Поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что F всегда параллелен r, поскольку сила радиальная, и p всегда параллелен v по определению. Таким образом можно утверждать, что L - константа.

где T1 и T2 периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а a 1 и a 2 длины больших полуосей их орбит. Ньютон показал, что третий закон Кеплера не совсем точен в действительности в него входит и масса планеты: где M – масса Солнца, а m 1 и m 2 – массы планет.

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках A и B (перигелий и афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время. …

Однако полная площадь эллипса равна (что равно πab, поскольку ) Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках A и B, запишем

Время полного оборота, таким образом, равно