Логические функции. Логические законы и правила преобразования логических выражений.

Логическое следование (импликация) Составное высказывание, образованное с помощью операции логическое следование (импликация), ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки следует ложный вывод (второе высказывание).

Импликация А В АВА В А В = А v В

Пример «Если число делится на 10, то оно делится на 3» А=«число делится на 10» В=«оно делится на 3» А В А=1 В=0 1 0 = 0

Логическое равенство (эквивалентность) Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентность истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.

Эквивалентность А ~ В АВА ~ В А ~ В = (А v В) ^ (А v В)

Пример «Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда компьютер включён» А=«Компьютер может производить вычисления» В=«компьютер включён» А ~ В А=1 В=1 1 ~ 1 = 1

Логические законы 1.Закон тождества Всякое высказывание тождественно самому себе А = А

2.Закон непротиворечия Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным А ^ А = 0

3.Закон исключения третьего Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано А v А = 1

4.Закон двойного отрицания Если дважды отрицать некоторое высказывание, то получим исходное высказывание А = А

5.Законы де Моргана А v В = А ^ В А ^ В = А v В

6.Закон коммутативности Логическое умножениеЛогическое сложение А ^ В = В ^ АА v В = В v А

7.Закон ассоциативности Логическое умножениеЛогическое сложение (А ^ В)^С = А ^ (В^С) (А v В)vС = А v (ВvС)

8.Закон дистрибутивности Умножение относительно сложения Сложение относительно умножения (А^В)v(А^С) = А^(ВvС)(АvВ)^(АvС) = Аv(В^С)

Частные случаи А ^ 1 = А А ^ 0 = 0 А ^ 1 = А А ^ 0 = 0 А v 1 = 1 А v 0 = А А v 1 = 1 А v 0 = А

Правила преобразования логического выражения Записать логическое выражение; Найти проявление логического закона; Применить приём замены логической операции; Заменить при необходимости знаки базовых операций на знаки «+» или «*»

Пример (А ^ В) v (А ^ В) = А ^ (В v В) = А ^ 1 = А Закон исключения третьего) 1