Samarqand davlat universiteti Fan: Diskret matematika va matematik mantiq Rabbimov I. Samarqand Mavzu: Toplamlar va ular ustida amallar. Toplam Buleani. Dekart kopaytma Raqamli texnologiyalar fakulteti Matematik modellashtirish kafedrasi

Georg Kantor Toplamlar nazariyasining paydo bolishi Matematikada, diskret matematika, kombinatorika va graflar nazariyasida ham, turli toplamlar bilan ish korishga togri keladi. Masalan, kutubxonadagi barcha kitoblar toplami, lotin harflari toplami, ot soz turkumiga tegishli sozlar toplami, unli harflar toplami, undosh harflar toplami, suvda hayot kechiruvchi tirik organizmlar toplami, natural sonlar toplami, koinotdagi yulduzlar toplami, togri chiziqda yotuvchi nuqtalar toplami va hokazo. Toplamlar nazariyasiga fan sifatida XIX asrning oxirida matematikani standartlashtirish boyicha oz dasturini taklif etgan Kantor tomonidan asos solingan deb hisoblansada, toplamlar bilan Kantordan oldinroq Bolsano shugullangan. Kantor fikricha, istalgan matematik obyekt (shu jumladan, toplamning ozi ham) qandaydir toplamga tegishli bolishi shart. Berilgan xossaga ega bolgan barcha obyektlar majmuasi uchun umumiy nomni Kantor toplam deb tushungan edi.

1- tarif. Toplamni tashkil etuvchilar shu toplamning elementlari deb ataladi. Toplamlar nazariyasida toplamning elementlari bir-biridan farqli deb hisoblanadi, yani muayyan bir toplamning elementlari takrorlanmaydi. Toplamni tashkil etuvchi elementlar soni chekli yoki cheksiz bolishi mumkin. Birinchi holda chekli toplamga, ikkinchi holda esa, cheksiz toplamga ega bolamiz. Toplamlarni belgilashda, odatda, lotin yoki grek alifbosining bosh harflari, uning elementlari uchun esa alifboning kichik harflari qollaniladi. Toplamni tashkil etuvchi elementlar figurali qavslar orasiga olinib ifodalanishi mumkin. Masalan, toplamning a, b, c, …, z elementlardan tuzilganligini A={a, b, c, …, z} korinishda yozish mumkin. Toq natural sonlar toplamini B deb belgilasak, uni, bunda n – natural son.

Toplamlarning aksiomatik nazariyasi haqida tushunchalar Hozirgi zamon toplamlar nazariyasi aksiomalar tizimiga asoslangandir. Qandaydir aksiomalarga asoslangan nazariya aksiomatik nazariya deb yuritiladi. Toplamlarning aksiomatik nazariyasida bunday aksiomalar tizimi sifatida standart tizim hisoblangan Sermelo-Frenkel aksiomalari tizimini keltirish mumkin. Hajmiylik aksiomasi. Ikkita A va B toplamlar faqat va faqat aynan bir xil elementlardan iborat bolsagina tengdir. Bosh toplam aksiomasi. Birorta ham elementga ega bolmagan toplam, yani bosh toplam, mavjud. Bosh toplam uchun belgisi qollaniladi.

Toplamlar ustida amallar 6-tarif. Har qanday ikkita toplamning barcha elementlaridan, ularni takrorlamasdan, tuzilgan toplamga shu toplamlarning birlashmasi (yoki yigindisi) deb ataladi. 1-shakl

7-tarif. Har qanday ikkita toplamning barcha umumiy elementlaridan tuzilgan toplamga toplamlarning kesishmasi (yoki kopaytmasi) deyiladi. 2-shakl

3-shakl

9-tarif: А vа B toplаmlаrning simmetrik аyirmаsi (hаlqаli yigindisi) deb, А toplаmning B toplаmgа, B toplаmning А toplаmgа tegishli bolmаgаn elementlаridаn ibоrаt toplаmgа аytilаdi vа AB kаbi belgilаnаdi. Shundаy qilib, AB=A B=(А\B)U(B\А) AB yoki A B 4-shakl

A va B toplamlarning Dekart kopaytma si: A B = { (a, b) : a A and b B} Agar A = {Charlie, Lucy, Linus}, va B = {Brown, VanPelt}, uholda A,B chekli |A B| = |A||B| A 1 A 2 … A n = = {(a 1, a 2,…, a n ): a 1 A 1, a 2 A 2, …, a n A n } A B = {(Charlie, Brown), (Lucy, Brown), (Linus, Brown), (Charlie, VanPelt), (Lucy, VanPelt), (Linus, VanPelt)}