Лекция 1 Понятие матрицы. Основные вида матрицы. Операции над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы. 1

2. Матрицы и действия на ними МАТРИЦА ЭТО ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ТАБЛИЦА, ЗАПОЛНЕННАЯ ЭЛЕМЕНТАМИ. Второй столбец Вторая строка

Матрицы. 3 Нулевая матрица Побочная диагональ Главная диагональ Единичная матрица Матрица столбец Матрица строка

Действия над матрицами. Сложение матриц: 4 Вычитание матриц: Умножение матрицы на число:

Действия над матрицами Умножение матриц: 5

Пример умножения матриц. 6

Действия над матрицами. Операции сложения и умножения матриц обладают следующими свойствами: Сложения: 1.А+В=В+А (переместительный закон) 2.А+(В+С)=(А+В)+С (сочетательный закон) 3.А+0=А 4.(α·β)·А= α·(β·А) 5.(α+β)·А= α·А+β·А (распределительный 6.(А+В)·α=α·А+α·В закон) Умножения: 1. А·ВВ·А 2. А·(В·С)= (А·В)·С 3. А·(В+С)= А·В+А·С (А+В)·С= А·С+В·С 4. А·Е= Е·А=А 7

2. Матрицы и действия на ними МАТРИЦА ЭТО ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ТАБЛИЦА, ЗАПОЛНЕННАЯ ЭЛЕМЕНТАМИ. Второй столбец Вторая строка

Главная диагональ побочная диагональ

Матрицы разного размера складывать нельзя Вычитание это тоже сложение

Лирическое отступление… i -я строка А j -й столбец В

Примеры

Доказать самостоятельно, используя определения действий (операций)

E выбираем подходящего размера А, В, С подходящего размера

Обратная самой себе операция называется инволютивной

Докажем что-нибудь… Докажем, что ij-й элемент AE такой же, как и ij - й элемент A Аналогично доказывается, что EA = A

Обратная (по умножению) матрица это матрица, произведение с которой равно единичной: Бывает еще обратная по сложению (противоположная): 1) Обратная бывает у квадратных, и то не у всех. 2) Обратная к обратной равна исходной. 3) Обратная к транспонированной равна транспонированной обратной. 4) Обратная произведения равна произведению обратных в обратном порядке. 5) Обратная к умноженной на число равна обратной, разделенной на это число

Перемножим-ка мы пару матриц…. Найдем-ка мы обратную…. А сделаем-ка мы проверочку….