В.Г. Петухов Государственный космический научно-производственный центр им. М.В. Хруничева

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ 2. ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КА С ИДЕАЛЬНО РЕГУЛИРУЕМЫМ ДВИГАТЕЛЕМ МАЛОЙ ТЯГИ 3. ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ ПЕРЕЛЕТА НА ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ КА С ИДЕАЛЬНО РЕГУЛИРУЕМЫМ ДВИГАТЕЛЕМ МАЛОЙ ТЯГИ 4. ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ КА С ДВИГАТЕЛЕМ ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТИ ИСТЕЧЕНИЯ ЗАКЛЮЧЕНИЕ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 2

ВВЕДЕНИЕ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Представлен единый методический подход к решению различных задач численной оптимизации траекторий КА с малой тягой. Основой этого подхода является формальная редукция краевой задачи принципа максимума к задаче Коши. Такая редукция достигается применением метода продолжения по параметру. 3

ВВЕДЕНИЕ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Оптимизация перелетов КА с малой тягой: Т.М. Энеев, В.А. Егоров, В.В. Белецкий, Г.Б. Ефимов, М.С. Константинов, Г.Г. Федотов, Ю.А. Захаров, Ю.Н. Иванов, В.В. Токарев, В.Н. Лебедев, В.В. Салмин, С.А. Ишков, В.В. Васильев, T.N. Edelbaum, F.W. Gobetz, J.P. Marec, N.X. Vinh, K.D. Mease, C.G. Sauer, C. Kluever, V. Coverstone-Carroll, S.N. Williams, M. Hechler и др. Метод продолжения: M. Kubicek, T.Y. Na и др. 4

ВВЕДЕНИЕ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Недостатки традиционных численных методов оптимизации малая область сходимости; вычислительная неустойчивость; необходимость подбора начального приближения в условиях отсутствия априорной информации о решении задачи. Часть этих явлений связана с физической сущностью задачи оптимизации (вопросы устойчивости, существования и ветвления решений). Однако, большинство численных методов вносят свои - методические - ограничения, не имеющие непосредственного отношения к свойствам математической задачи. Так, область сходимости практически всех численных методов существенно меньше области притяжения конкретной экстремальной точки в пространстве неизвестных параметров краевой задачи. Методические сложности связаны с вычислительной неустойчивостью и с ограниченностью области сходимости численных методов решения, а в некоторых случаях - например при использовании ряда прямых методов оптимизации - с большой размерностью задачи. 5

ВВЕДЕНИЕ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Цель разработки метода продолжения Регуляризация численной оптимизации траекторий, то есть устранение, по возможности, методических недостатков численной оптимизации. В частности, была поставлена и решена задача определения оптимальной траектории при использовании тривиального начального приближения (например, пассивного движения КА по начальной орбите). Рассматриваемые прикладные задач оптимизации траекторий 1. Оптимизация межпланетных траекторий КА с идеально регулируемым двигателем малой тяги; 2. Оптимизация траекторий перелета к Луне КА с идеально регулируемым двигателем малой тяги в рамках ограниченной задачи трех тел; 3. Оптимизация перелетов между некомпланарными эллиптическими орбитами КА с двигательной установкой с постоянной скоростью истечения. 6

Задача: решить систему нелинейных уравнений (1) относительно вектора z Пусть z 0 - начальное приближение решения. Тогда, (2) где b - вектор невязок при z = z 0. Введем в рассмотрение однопараметрическое семейство z( ), где - скалярный параметр и рассмотрим уравнение (3) относительно z( ). Очевидно, что z(1) - решение уравнения (1). Продифференцируем уравнение (2) по и разрешим его относительно dz/d : (4) Интегрируя уравнения (4) от 0 до 1 получаем решение системы (1). Уравнение (4) - дифференциальное уравнение метода продолжения (формальная редукция решения системы нелинейных уравнений (1) к задаче Коши). 1. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 7

МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Применение метода продолжения к краевой задаче оптимального управления Уравнения оптимального движения (после применения принципа максимума): Краевые условия (пример): Вектор параметров краевой задачи и вектор невязок: Матрица чувствительности: Совместная система о.д.у. оптимального движения и уравнений в вариациях для вычисления вектора невязок и матрицы чувствительности: Расширенные начальные условия: 8

МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Схема решения задачи оптимизации траектории КА с малой тягой методом продолжения по параметру Редукция задачи оптимального управления к краевой задаче применением принципа максимума Л.С. Понтрягина Начальное приближение z 0 Вычисление вектора начальных невязок b с помощью интегрирования системы о.д.у. оптимального движения при заданном начальном приближении вектора параметров краевой задачи z 0 Совместное интегрирование систем о.д.у. оптимального движения и уравнений в вариациях при текущем значении z( ) для определения текущих значений вектора невязок f(z, ) и матрицы чувствительности f z (z, ) Интегрирование системы о.д.у. метода продолжения по от 0 до 1 Интегрирование систем о.д.у. оптимального движения при текущем значении z( ) для определения текущих значений вектора невязок f(z, ) и при варьированных значениях z( ) для конечно-разностного вычисления f z (z, ) Решение z(1) МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ 1-й вариант вычисления правых частей о.д.у. метода продолжения 2-й вариант вычисления правых частей о.д.у. метода продолжения 9

2. ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КА С ИДЕАЛЬНО РЕГУЛИРУЕМЫМ ДВИГАТЕЛЕМ МАЛОЙ ТЯГИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 10

2.1. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ТРАЕКТОРИИ КА С ИДЕАЛЬНО РЕГУЛИРУЕМЫМ ДВИГАТЕЛЕМ Функционал: (постоянная мощность, ЯЭРДУ) (переменная мощность, СЭРДУ) Уравнения движения:d 2 x/dt 2 = x +a Начальные условия:x(0)=x 0 (t 0 ), v(0)=v 0 (t 0 )+V e Конечные условия 1) сопровождение:x(T)=x k (t 0 +T), v(T)=v k (t 0 +T) 2) пролет:x(T)=x k (t 0 +T) где x, v - векторы положения и скорости КА, - силовая функция гравитационного поля, a - вектор реактивного ускорения, x 0, v 0 - векторы положения и скорости планеты отправления, x k, v k - векторы положения и скорости планеты прибытия, V - гиперболический избыток скорости КА у планеты отправления, e -единичный вектор ориенации гиперболического избытка V, N(x,t) - отношение текущей реактивной мощности к начальной. ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 11

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 2.2. УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ (СЛУЧАЙ ПОСТОЯННОЙ МОЩНОСТИ) Гамильтониан: Оптимальное управление: Оптимальный гамильтониан: Уравнения оптимального движения: Вектор невязок: Вектор параметров краевой задачи и вектор начальных невязок: (сопровождение) (пролет) 12

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Погружение краевой задачи в однопараметрическое семейство: Начальное значение вектора параметров краевой задачи и ее решение: Дифференциальное уравнение метода продолжения: Система дифференциальных уравнений для определения правой части уравнения метода продолжения и расширенные начальные условия: 2.3. УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ 13

Земля-Марс, сопровождение, дата старта 1 июня 2000, V = 0 м/с, T=300 сут 1 - траектория пассивного движения ( 1 = 0) промежуточные траектории (0 < 2 < 3 < 4 < 1) 5 - конечная (оптимальная) траектория ( 5 = 1) 2.4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ, ВЫЧИСЛЯЕМАЯ АЛГОРИТМОМ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПАССИВНОГО ДВИЖЕНИЯ В КАЧЕСТВЕ НАЧАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 14

2.5. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ К МЕРКУРИЮ И АСТЕРОИДАМ ЗЕМНОЙ ГРУППЫ ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 15

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой ПРИМЕРЫ ПОВОРОТА ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ Поворот плоскости круговой орбиты на 90° Поворот плоскости круговой орбиты на 120° 16

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой ПРИМЕР: ВЛИЯНИЕ ОТЛЕТНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ИЗБЫТКА СКОРОСТИ 17

ПРИМЕР: ТРАЕКТОРИЯ КА С ПОСТОЯННОЙ МОЩНОСТЬЮ И С СОЛНЕЧНОЙ ЭРДУ ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 18

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 2.7. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ГРАВИТАЦИОННОМУ ПАРАМЕТРУ Причины отказов метода продолжения: вырожденность матрицы чувствительности (ветвление решений) Для межпланетных перелетов бифуркации оптимальных решений чаще всего связаны с изменением числа целых витков вокруг Солнца Если угловая дальность перелета в процессе продолжения будет оставаться постоянной, то путь продолжения в параметрическом пространстве не будет пересекать границ областей оптимальных решений различного типа, следовательно не будет вырождаться матрица чувтсвительности Цель модификации метода - зафиксировать угловую дальность перелета в процессе продолжения Последовательность вычисления траекторий при использовании базового метода продолжения Последовательность вычисления траекторий при использовании метода продолжения по гравитационному параметру 19

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Пусть x 0 (0), x 0 (T) - положение планеты старта при t=0 и t=T; x k - положение планеты-цели при t=T. Будем считать гравитационный параметр Солнца линейной функцией параметра продолжения, и начальное значение этого гравитационного параметра 0 выберем из следующих условий: 1) угловые дальности перелета при =0 и =1 равны; 2) при =1 гравитационный параметр Солнца равен действительному физическому значению (1 для уравнений в безразмерных координатах) В качестве начального приближения рассматривается пассивное движение КА по орбите планеты старта. Пусть начальная истинная аномалия КА в точке старта S равна 0, а конечная в точке К k = 0 + ( - угол между x 0 и проекцией x k на плоскость начальной орбиты). Решение уравнения Кеплера дает соответствующие значения средних аномалий M 0 и M k (M=E-e sinE, где E=2 arctg{[(1-e)/(1+e)] 0.5 tg( /2)} - эксцентрическая аномалия). Средняя аномалия - линейная функция времени на кеплеровской орбите: M=M 0 +n (t-t 0 ), где n=( 0 /a 3 ) среднее движение. Следовательно, должно выполняться: M k +2 N rev =nT+M 0. Отсюда начальное значение гравитационного параметра Солнца 0 =[( M k +2 N rev - M 0 )/T] 2 a 3, а текущее ( )= 0 +(1- 0 ). Форма и размеры граничных орбит должны быть инвариантны относительно, отсюда v(t, )= ( ) 0.5 v(t, 1). 20

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой z = (p v (0), dp v (0)/dt) T = b = f(z 0 ) Уравнения движения: Краевые условия: Функция невязок: Параметры краевой задачи: Уравнение метода продолжения: где 21

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Численный пример: сопровождение Меркурия Постоянная мощность, дата старта 1 января 2001 г., время перелета 1200 суток Все решения получены с использованием нулевого начального приближения Базовый вариант метода продолжения по параметру Метод продолжения по гравитационному параметру 5 целых витков7 целых витков 22

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой ПРИМЕРЫ ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ К ПЛАНЕТАМ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ 23

3. ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ ПЕРЕЛЕТА НА ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ КА С ИДЕАЛЬНО РЕГУЛИРУЕМЫМ ДВИГАТЕЛЕМ МАЛОЙ ТЯГИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Рассматривается задача перелета КА с идеально регулируемым двигателем малой тяги с геоцентрической орбиты на орбиту спутника Луны. Траектория перелета разбивается на 4 участка: 1) Траектория геоцентрической спиральной раскрутки с начальной орбиты до некоторой промежуточной геоцентрической орбиты; 2) Траектория сопровождения точки либрации L 2 системы Земля-Луна; 3) Траектория перелета из точки L 2 на некоторую промежуточную селеноцентрическую орбиту; 4) Траектория селеноцентрической скрутки до целевой орбиты. 1-й и 4-й участок могут отсутствовать в случае достаточно высоких начальной геоцентрической и конечной селеноцентрической орбит. Траектории 2-го и 3-го участков определяются с помощью метода продолжения по параметру. 24

ОБОСНОВАНИЕ РАЗБИЕНИЯ ТРАЕКТОРИИ НА УЧАСТКИ Область возможного движения КА при критическом значении постоянной Якоби Область возможного движения КА при относительной скорости 10 м/с на сфере Хилла Ширина горловины ~60000 км Сфера Хилла Область спутникового движения Луна к Земле Кривые нулевой скорости (изолинии интеграла Якоби) 1. Характерная длительность пребывания КА, движущегося по гиперболической траектории, в сфере действия Луны: ~1 сутки. 2. Характерное изменение скорости КА за счет работы двигателей малой тяги при реактивном ускорении ~0.1 мм/с 2 : ~10 м/с. 3. Ширина горловины в окрестности точки либрации, соответствующей избытку относительной скорости КА на сфере Хилла в 10 м/с: ~60000 км. Для реализации захвата КА в область спутниковых движений с использованием двигателей малой тяги его скорость относительно точки либрации при пересечении сферы Хилла не должна превышать ~10 м/с, а удаление от точки либрации не должно превышать ~30000 км. ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕЛЕТА НА ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 25

ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕЛЕТА НА ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой ТРАЕКТОРИИ СОПРОВОЖДЕНИЯ L 2 Модельная задача перелета с круговой околоземной орбиты (высота км, наклонение 63°, долгота восходящего узла 12°, аргумент широты 0°; дата старта 5 января 2001 г.) a, мм/с t, сут t, сут t, сут t, сут 4 полных витка5 полных витков 6 полных витков7 полных витков 26

ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕЛЕТА НА ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой ТРАЕКТОРИИ СОПРОВОЖДЕНИЯ L 2 С ГРАВИТАЦИОННЫМ МАНЕВРОМ У ЛУНЫ Реактивное ускорение, мм/с Т, сут 95 Орбита Луны Конечное положение Луны Начальное положение Луны Начальное положение L 2 Конечное положение L 2 Начальная орбита Гравитационный маневр Реактивное ускорение, мм/с Т, сут витка7.5 витков 27

ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕЛЕТА НА ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой ТРАЕКТОРИИ ПЕРЕЛЕТА ИЗ L 2 НА КРУГОВУЮ ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ Final orbit: r = km, i = 0. Transfer: 1.5 orbits, T = 10 days Final orbit: r = km, i = 0. Transfer: 2.5 orbits, T = 15 days Final orbit: r = km, i = 90. Transfer: 2.5 orbits, T = 20 days Thrust acceleration 0.5 mm/s 2 0 mm/s 2 0 Time, d 10 0 Time, d 150 Time, d 20 Moon Final (intermediate) orbit Initial L 2 position Final L 2 position 28

ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕЛЕТА НА ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой ТРАЕКТОРИЯ ПЕРЕЛЕТА ИЗ L 2 НА ЭЛЛИПТИЧЕСКУЮ ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ (i=90°, h p =300 км, h a =10000 км, 10.5 витков) Thrust acceleration 1 mm/s 2 0 mm/s 2 0 Time, d 30 Moon Final orbit Initial L 2 position Final L 2 position 29

ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕЛЕТА НА ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой УЧАСТКИ ТРАЕКТОРИИ ПЕРЕЛЕТА С ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОКОЛОЗЕМНОЙ ОРБИТЫ НА КРУГОВУЮ ОРБИТУ ВОКРУГ ЛУНЫ Геоцентрическая спиральная раскрутка Траектория сопровождения L 2 Перелет из L 2 на круговую экваториальную км орбиту вокруг Луны Moon Earth Thrust acceleration 0.5 mm/s 2 0 mm/s 2 0 Time, d 95 Thrust acceleration 0.5 mm/s 2 0 mm/s 2 0 Time, d 95 30

4. ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 31

Уравнения орбитального движения КА записываются в равноденственных элементах, не имеющих особенностей при нулевом наклонении и эксцентриситете. Задача оптимального управления редуцируется к двухточечной краевой задаче применением принципа максимума Л.С. Понтрягина. Эта краевая задача, в свою очередь, формально редуцируется к задаче Коши с помощью метода продолжения по параметру. Для вычисления правых частей дифференциальных уравнений метода продолжения необходимо проинтегрировать систему дифференциальных уравнений оптимального движения (П-систему) и вычислить частные производные от конечного фазового вектора П-системы по начальным значениям сопряженных переменных. При численном интегрировании П-системы ее правые части численно осредняются по истинной долготе КА. Частные производные от конечного фазового вектора П-системы по начальным значениям сопряженных переменных определяются по конечно-разностным соотношениям. В результате первого интегрирования П-системы формируется вектор невязок решения краевой задачи. Для определения матрицы чувствительности с помощью конечных разностей требуется 6 дополнительных интегрирований П-системы. В результате, после решения системы линейных алгебраических уравнений формируется вектор правых частей системы дифференциальных уравнений метода продолжения. Система дифференциальных уравнений метода продолжения численно интегрируется по параметру продолжения от 0 до 1, в результате чего определяется оптимальное решения. ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 32

ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой - функция выключения двигателя, P - реактивная тяга, m - масса КА, - тангаж, - рысканье Система равноденственных орбитальных элементов: - гравитационный параметр центрального тела; p, e,,, i, - классические кеплеровские элементы. Компоненты реактивного ускорения в орбитальной системе координат: Уравнения движения в равноденственных элементах: w - скорость истечения 4.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ Краевые условия: t = 0: t = T: 33

ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Осредненный функционал не зависит от F, поэтому после осреднения. Так как рассматриваются межорбитальные перелеты, конечное значение F=F(T) не фиксировано p F (T)=0 (условие трансверсальности) в гамильтониане можно опустить члены с p F, где Функционал: Гамильтониан: Оптимальное управление: Оптимальный гамильтониан: или ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ 34

ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 4.3. УРАВНЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ (П-СИСТЕМА) где - фазовый и сопряженный векторы, 35

ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 36

ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Уравнение метода продолжения:, где (быстродействие) или z=p (фиксированное время); b=f(z 0 ) - вектор невязок при начальном значении z (при =0). Краевая задача решается интегрированием дифференциальных уравнений метода продолжения по от 0 до 1. Частные производные от вектора невязок f по параметрам краевой задачи z и решение системы линейных уравнений для определения правых частей этих дифференциальных уравнений определяются численно КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В задаче оптимального быстродействия 1, а уравнения для m и p m можно не рассматривать, заменив массу на выражение m = m 0 - (P/w) t. Уравнение невязок для задачи оптимального быстродействия имеет вид: Это уравнение должно быть решено относительно неизвестных начальных значений сопряженных переменных p(0) и времени перелета T. В задаче с фиксированным временем T уравнение невязок краевой задачи имеет вид: Это уравнение должно быть решено относительно неизвестных начальных значений сопряженных переменных p(0), p m (0). 37

4.5. ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Краевая задача решается методом продолжения по параметру. Для вычисления невязок f интегрируются осредненные по истинной долготе F уравнения оптимального движения. Эти уравнения имеют особенность при p=0, поэтому использовать нулевое начальное приближение для вектора сопряженных переменных нельзя. В задаче оптимального быстродействия при использовании метода продолжения по параметру в качестве начального приближения для p(0) выбиралось p h =1, если большая полуось конечной орбиты превышает большую полуось начальной орбиты и p h =-1 в противном случае. Остальные компоненты вектора p выбирались равными 0, а начальное приближение для безразмерного времени перелета T| =0 =1 (в единицах начальной орбиты). С таким начальным приближением удалось решить задачи об оптимальном по быстродействию перелете с высокоэллиптической промежуточной орбиты (ПО) на ГСО при наклонении ПО 0°-75° и высоте апогея ПО км. Если высота апогея ПО находилась вне этого диапазона, для решения задачи в качестве начального приближения приходилось использовать предварительно полученное решение задачи перелета с ПО с достаточно близкой высотой апогея. Осреднение уравнений оптимального движения по истинной долготе F осуществляется численно в процессе интегрирования этих уравнений. Вычисление частных производных от функции невязок f по параметрам краевой задачи p(0), T, необходимых для применения метода продолжения, производится также численно по конечно-разностным формулам первого порядка. Таким образом, для вычисления правых частей дифференциальных уравнений метода продолжение используется численное интегрирование численно осредненных уравнений оптимального движения и полученные численным дифференцированием частные производные от функции невязок краевой задачи по ее параметрам. 38

4.6. ОПТИМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ В НЕОСРЕДНЕННОМ ДВИЖЕНИИ ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Малый уровень реактивного ускорения (по сравнению с гравитационным) обуславливает близость эволюции орбитальных элементов в осредненном и неосредненном движении в эллиптическом случае. Для проверки применимости найденного для осредненных уравнений движения оптимального управления, найденные оптимальные начальные значения параметров краевой задачи подставлялись в неосредненные уравнения оптимального движения, и эти уравнения численно интегрировались. Начальное значение истинной долготы F выбиралось достаточно произвольно (обычно соответствующее перигею или апогею начальной орбиты), а начальное значение сопряженной к ней переменной p F принималось равной 0 (см. замечание выше). В результате этого численного интегрирования определялись фактические невязки на правым конце траектории и программа оптимального управления. Для перелетов на ГСО с высокоэллиптических промежуточных орбит при уровне реактивного ускорения мм/с 2 разница в невязках при решении осредненной и неосредненной задач имела величину порядка 0.1%. Примеры использования оптимального управления, полученного для осредненной задачи к неосредненным уравнениям движения приводятся в следующем разделе. 39

ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 4.7. ЭВОЛЮЦИЯ ОРБИТЫ В ОПТИМАЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ И ОПТИМАЛЬНАЯ ПРОГРАММА УПРАВЛЕНИЯ (ОПТИМАЛЬНОЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЕ) 1. Средние за виток значения радиуса апогея, большой полуоси и эксцентриситета имеют максимум. 2. Радиус перигея монотонно возрастает. Эволюция орбитальных элементов при высоте апогея промежуточной орбиты ниже оптимальной (h a = км, i = 75°) 40

ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Траектория перелета имеет 3 фазы. На 1-й фазе осуществляется разгон всюду кроме небольшой дуги орбиты в окрестности апогея (этим частично компенсируется увеличение высоты перигея), а максимальное значение угла рысканья в апогее на витке возрастает с ~70° в начале перелета до 90° при достижении максимального эксцентриситета. Максимальный угол рысканья в перигее примерно постояннен и составляет менее 10°. На 2-й фазе происходит разгон на всем витке до достижения максимального значения высоты апогея. Максимальное значение угла рысканья в апогее уменьшается почти линейно по времени от 90° до ~60°, а в перигее - увеличивается, достигая 90° при достижении максимальной высоты апогея. Угол рысканья в перигее достигает больших значений, чем угол рысканья в апогее, что можно объяснить большей эффективностью подъема высоты перигея на этом участке. На 3-й фазе происходит разгон в апогее и торможение в перигее, а максимальный угол рысканья на витке снижается до ~40° в апогее и до ~25° в перигее. Оптимальное управление вектором тяги при высоте апогея промежуточной орбиты ниже оптимальной (h a = км, i = 75°) разгон- торможение торможение- разгон разгон 41

ОПТИМАЛЬНАЯ ПРОГРАММА УПРАВЛЕНИЯ ВЕКТОРОМ ТЯГИ ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 42

ОПТИМАЛЬНАЯ ПРОГРАММА УПРАВЛЕНИЯ ВЕКТОРОМ ТЯГИ ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 43

ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой Эволюция орбитальных элементов и управление вектором тяги при оптимальной высоте апогея промежуточной орбиты (h a = км, i = 65°) Радиусы перигея, апогея и большая полуось Эксцентриситет Углы тангажа и рысканья 1. Средние за виток значения радиуса апогея, большой полуоси и эксцентриситета монотонно уменьшаются. 2. Средний за виток радиус перигея монотонно растет. 3. Траектория перелета имеет 1 фазу. В апогее происходит разгон, а в перигее - торможение. Максимальный угол рысканья на витке монотонно снижается с 90° до ~30°. 44

ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 1. Средние за виток значения радиуса апогея и большой полуоси монотонно уменьшаются. 2. В начале перелета радиус перигея уменьшается, а эксцентриситет - растет. 3. Траектория перелета имеет 2 фазы. На 1-й фазе осуществляется торможение на всем витке, а максимальный угол рысканья на витке увеличивается до ~90° при достижении максимального эксцентриситета. На 2-й фазе происходит разгон в апогее и торможение в перигее, а максимальный угол рысканья на витке снижается почти до 0. Радиусы перигея, апогея и большая полуось Эксцентриситет Углы тангажа и рысканья Эволюция орбитальных элементов и управление вектором тяги при высоте апогея промежуточной орбиты выше оптимальной (h a = км, i = 65°) торможение - разгон торможение 45

ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 4.8. РЕЗУЛЬТАТЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПЕРЕЛЕТОВ НА ГСО С ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ ОРБИТЫ Высота перигея промежуточной орбиты 250 км, масса КА на ГСО 450 кг, тяга ЭРДУ Н, удельный импульс ЭРДУ 1500 с Высота апогея промежуточной орбиты, тыс. км Наклонение промежуточной орбиты ° Высота апогея промежуточной орбиты, тыс. км Время перелета, сут i 0 =75° i 0 =65° i 0 =51.3° i 0 =0° 47

ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОВИТКОВЫХ ПЕРЕЛЕТОВ МЕЖДУ НЕКОМПЛАНАРНЫМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ ОРБИТАМИ В.Г. Петухов. Оптимизация траекторий космических аппаратов с малой тягой 4.9. ВЫВОДЫ 1. Метод продолжения по параметру можно эффективно использовать для оптимизации многовитковых перелетов с малой тягой, что продемонстрировано на примере оптимизации по быстродействию перелетов с эллиптической промежуточной орбиты на ГСО. 2. В настоящее время не обнаружено каких-либо существенных ограничений на возможность использования разработанного метода в задачах с фиксированным временем и с различными краевыми условиями (межорбитальный перелет, набор заданной орбитальной энергии, разворот плоскости орбиты и т.д.). 3. Не обнаружено каких-либо ограничений на возможность учета внешних возмущающих сил при оптимизации траектории КА разработанным методом. Возмущающие силы, выраженные как через орбитальные элементы, так и через фазовый вектор КА, относительно легко могут быть введены в уравнения разработанного метода так как операции осреднения уравнений движения и вычисления производных от невязок краевой задачи по ее параметрам реализованы в рамках этого метода численно. Для учета возмущающих ускорений в уравнениях движения необходимы выражения для частных производных первого порядка от компонент этих ускорений по орбитальным элементам. 4. Разработанный метод позволил провести исчерпывающий анализ оптимальных по быстродействию перелетов с эллиптической промежуточной орбиты на ГСО, включая анализ влияния параметров промежуточной орбиты и основных проектных параметров КА на характеристики перелета и определение номинальных программ управления вектором тяги электроракетной двигательной установки КА. 48

V.G. Petukhov. Low Thrust Trajectory Optimization 49 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Разработанный метод продолжения показал высокую эффективность для задачи оптимизации траекторий КА с идеально регулируемым двигателем малой тяги. Комбинация двух вариантов метода продолжения - базового метода и метода продолжения по гравитационноиу параметру - позволяет быстро и исчерпывающе проводить анализ межпланетных траекторий. С использованием метода продолжения были оптимизированы траектории КА с малой тягой, оканчивающиеся или начинающиеся в точке либрации L 2 системы Земля-Луна. Эти траектории использовались для построения квазиоптимальных траекторий перелета между орбитами искусственных спутников Земли и Луны. Специально разработанная версия метода продолжения позволила провести полномасштабный анализ оптимальных по быстродействию пространственных траекторий перелета КА с малой тягой с эллиптической промежуточной орбиты на ГСО. Таким образом, характеристики метода продолжения делают его полезным и эффективным инструментом анализа траекторий КА с ЭРДУ.