РАЗБОР НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ на тему: «Системы счисления»

1. Существует ли системы счисления с снованиями P и Q, в которых 12 P >21 Q ? Решение: Из записи исходных чисел следует, что P >2 и Q >2. Так как 12 P = 1*P+2, а 21 Q = 2*Q+1, то исходное неравенство можно переписать в виде: 1*P+2 > 2*Q+1 P > 2*Q-1 Следовательно, для всех систем счисления с основаниями Q > 2 и P > 2*Q-1 выполняется равенство 12 P > 21 Q.

2. Для записи десятичного числа 371 найдите основание P системы счисления, в которой данное число будет представлено теми же цифрами, но записанными в обратном порядке, т.е = 173 P. Решение: Воспользуемся развернутой формой представления числа в P-ичной системе счисления: 173 P = 1*P2+7*P+3. Так как 371 = 173 P, то получаем: P 2 +7*P-368=0. Решив данное квадратное уравнение, получаем единственный натуральный корень: 16 Следовательно, искомой является шестнадцатеричная система счисления.

3. Переведите число 2005 в систему счисления с основанием, равным вашему возрасту. Может ли в новой системе счисления получившееся число быть дробным? Решение: Возраст ученика10 класса, как правило, 16 лет = = 7* *16+5*16 0 =7D5 16. Полученное число обязательно будет целым.

4.Переведите в восьмеричную систему счисления конечную шестнадцатеричную дробь BF3,6 16 Решение: BF3,6 16 = , = ,011 2 = 5763,3 8

5. Найдите 1999-ю цифру после запятой в четверичной записи десятичного числа 20,45. Решение: Поскольку надо найти 1999-ю цифру после запятой, достаточно перевести в четверичную систему счисления дробную часть, т.е. число 0,45. 0,45*4 = 1,8 0,8*4=3,2 0,2*4=0,8 0,8*4=3,2 Получили 0,45 10 =0,1(30) 4. Найдем теперь 1999-юцифру этого числа. Первая цифра после запятой – единица; остаются 1998 цифр, находящихся в периодической части. Число 1998 – четной, т.е. последовательность из двух цифр (30) повторится четное число раз. Следовательно, 1999-й цифрой будет 0.

6. Переведите число 1234, в 27-ричную систему счисления, ABCD,EF 16 – в восьмеричную. Решение: В первом случае используем троичную систему счисления как промежуточную, а во втором – двоичную. 1234, , ,[17]7[24] 27 ABCD,EF , ,736 8

7. Сумму восьмеричных чисел перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Найдите в записи числа, равного этой сумме, пятую цифру слева Решение: Выполним сложение =2 3, то каждую цифру в записи числа заменим на двоичную триаду: = = = =OF3CF3CF 16 = F3CF3CF 16 Следовательно, пятая цифра слева в шестнадцатеричной записи числа – это 3. +

ЕГЭ A4 Как представлено число в двоичной системе счисления? 1) ) ) ) Решение: Переведем данное число в двоичную систему счисления = = = Ответ: 3

ЕГЭ A4 Количество значащих нулей в двоичной записи десятичного числа 129 равно: 1)5 2)6 3)7 4)4 Решение: Переведем данное число в двоичную систему счисления = = = Ответ: 2

ЕГЭ A5 Вычислите сумму двоичных чисел x и y, если x= , y= : 1) ) ) ) Решение: Ответ: 2 +

ЕГЭ A3 1. Дано: а=D7 16, b= Какое из чисел c, записанных в двоичной системе, отвечает условию a

ЕГЭ A4 Чему равна сумма чисел 43 8 и ? 1) ) ) ) Решение: 43 8 = 4*8+3 = = 5*16+6 = = = = =65 10 Ответ: 2

ЕГЭ A Для кодирования букв А, Б, В, Г решили использовать двухразрядные последовательные двоичные числа (от 00 до 11, соответственно). Если таким способом закодировать последовательность символов БАВГ и записать результат шестнадцатеричным кодом, то получится 1)4B 2) 411 3) BACD 4) 1023 Решение: А – 00, Б – 01, В – 10, Г – 11 БАВГ – = 4В 16 Ответ: 1

ЕГЭ В3 Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11. Решение: 4 10 = 10 4, значит 5 10 = 11 4 Следующим число оканчивающимся на 11 будет = =37 10 >25. Данное число не подходит. Ответ: 5,21

Используемая литература: Е.В. Андреева. Математические основы информатики.