Материал по теме «Монотонность функций» подготовлен учениками 9 класса подготовлен учениками 9 класса Исследование функций на монотонность.

План показа: Введение. Введение. 1. Определения возрастающей и убывающей функций. Графики функций. 1. Определения возрастающей и убывающей функций. Графики функций. 2.Алгоритм исследования функции на монотонность. 2.Алгоритм исследования функции на монотонность. 3. Примеры исследования функций на монотонность. 3. Примеры исследования функций на монотонность. Выводы. Выводы.

Введение. Введение. Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. Только с алгеброй начинается строгое математическое учение. Н.И. Лобачевский Н.И. Лобачевский Мы изучаем алгебру по комплектам учебников (под рук. Мордковича А.Г.), где учебный материал излагается по схеме: Мы изучаем алгебру по комплектам учебников (под рук. Мордковича А.Г.), где учебный материал излагается по схеме: функция - уравнения – преобразования. функция - уравнения – преобразования. В 7-м и 8-м классах мы учились читать графики, описывая некоторые свойства функций. В 7-м и 8-м классах мы учились читать графики, описывая некоторые свойства функций. В 9-м классе узнали много новых определений и научились применять их для исследования функций. Таким образом, появилась возможность, ответить на многие вопросы без построения графиков функций и, наоборот, по графикам – определить свойства функций. В 9-м классе узнали много новых определений и научились применять их для исследования функций. Таким образом, появилась возможность, ответить на многие вопросы без построения графиков функций и, наоборот, по графикам – определить свойства функций. Замечательным свойством функции является монотонность. Наш показ посвящен этому свойству. Замечательным свойством функции является монотонность. Наш показ посвящен этому свойству.

1.Определения возрастающей и убывающей функций. Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве X D(f), если для любых двух точек x 1 и x 2 множества X, таких, что x 1 < x 2 выполняется неравенство f (x 1 ) < f (x 2 ). Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве X D(f), если для любых двух точек x 1 и x 2 множества X, таких, что x 1 f (x 2 ). Термины «возрастающая функция» и «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция.

3. Алгоритм исследования функции на монотонность. 1. Найти область определения функции y = f(x): множество X D(f). 2. Выбрать произвольные значения аргумента x 1 и x 2 множества X такие, что x 1 < x Найти значения функции f (x 1 ) и f (x 2 ). 4. Если из x 1 f (x 2 ), то заданная функция убывает на D(f).

4. Примеры исследования функций на монотонность. Исследовать на монотонность функцию: Исследовать на монотонность функцию: 1. y = 2 - 5x; 1. y = 2 - 5x; 2. y = x 3 +4; 2. y = x 3 +4; 3. y = x 3 +2x 2 ; 3. y = x 3 +2x 2 ; 4. y = - 3x 3 - x; 4. y = - 3x 3 - x; 5. y = x 0,5 +x 5 ; 5. y = x 0,5 +x 5 ; 6. y = - x 3 - x 0,5. 6. y = - x 3 - x 0,5.

1. y = 2 – 5x. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = 2 – 5x: D(y)= (- ; + ). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x Найдем значения функции f (x 1 )= 2 – 5 x 1 и f (x 2 )= 2 – 5 x По свойствам числовых неравенств имеем: – x 1 > – x 2 ; 2 – 5 x 1 > 2 – 5 x Итак, из x 1 f (x 2 ), то заданная функция убывает на D(y).

2. y = x y = x Решение. Решение. 1. Область определения функции y = x : D(y)= (- ; + ). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x Найдем значения функции f (x 1 ) = x и f (x 2 ) = x По свойствам числовых неравенств имеем: x 1 3 < x 2 3 ; x < x Итак, из x 1 < x 2 следует f (x 1 ) < f (x 2 ), то заданная функция возрастает на D(y).

3. y = x 3 +2x 2. Решение. Решение. Область определения функции y = x 3 + 2x 2 : D(y)= (- ; + ). Область определения функции y = x 3 + 2x 2 : D(y)= (- ; + ). Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x 2. Найдем значения функции f (x 1 ) = x x 1 2 и f (x 2 ) = x x 2 2. Найдем значения функции f (x 1 ) = x x 1 2 и f (x 2 ) = x x 2 2. По свойствам числовых неравенств имеем: x 1 3 < x 2 3 ; x x 1 2 < x По свойствам числовых неравенств имеем: x 1 3 < x 2 3 ; x x 1 2 < x Итак, из x 1 < x 2 следует f (x 1 ) < f (x 2 ), то заданная функция возрастает на D(y). Итак, из x 1 < x 2 следует f (x 1 ) < f (x 2 ), то заданная функция возрастает на D(y).

4. y = – 3x 3 – x. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = – 3x 3 – x : D(y)= (- ; + ). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x Вычислим значения функции f (x 1 )= – 3x 1 3 – x 1 и f (x 2 )= – 3x 2 3 – x По свойствам числовых неравенств имеем: – x 1 3 > – x 2 3 ; – x 1 (3x ) > – x 2 (3x ); – 3x 1 3 – x 1 > – 3x 2 3 – x Итак, из x 1 f (x 2 ), то заданная функция убывает на D(y).

5. y = x 0,5 +x 5. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = x 0,5 +x 5 : D(y)= [ 0 ; + ). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x Найдем значения функции f (x 1 ) = x 1 0,5 +x 1 5 и f (x 2 ) = x 2 0,5 +x По свойствам числовых неравенств имеем: x 1 0,5 < x 2 0,5 ; x 1 5 < x 2 5 ; x 1 0,5 + x 1 5 < x 2 0,5 + x Итак, из x 1 < x 2 следует f (x 1 ) < f (x 2 ), то заданная функция возрастает на D(y).

6. y = - x 3 - x 0,5. Решение. Решение. 1. Область определения функции y = – x 3 – x 0,5 : D(y)= [ 0; + ). 2. Выберем произвольные значения аргумента x 1 и x 2 из D(y) такие, что x 1 < x Вычислим значения функции f (x 1 )= – x 1 3 – x 1 0,5 и f (x 2 )= – x 2 3 – x 2 0,5. 4. По свойствам числовых неравенств имеем: – x 1 3 > – x 2 3 ; – x 1 0,5 > – x 2 0,5 ; –x 1 0,5 (x 1 2,5 + 1) > – x 2 (x 2 2,5 +1); – x 1 3 – x 1 0,5 > – x 2 3 – x 2 0,5. 5. Итак, из x 1 f (x 2 ), то заданная функция убывает на D(y).

Выводы. Выводы. Данный материал подготовлен как вводное повторение для урока по теме « Теорема о корне при решении уравнений». Данный материал подготовлен как вводное повторение для урока по теме « Теорема о корне при решении уравнений». Свойство монотонности функции будет в дальнейшем использоваться для решения нестандартных задач. Свойство монотонности функции будет в дальнейшем использоваться для решения нестандартных задач. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их. Д.Пойа Д.Пойа