ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 1. Способы оценки погрешности косвенных измерений 2. Порядок оценки погрешности косвенных измерений

2 1 Способы оценки погрешности косвенных измерений При косвенных измерениях искомая физическая величина определяется как некоторая функция других величин X 1, …, X m, найденных путем прямых (или даже косвенных) измерений: Y = f(X 1, …, X m ).(1) Будем полагать, что необходимые измерения выполнены с одинаковой надежностью α и их результаты X 1 = X 1 ± ΔX 1, …, X m = X m ± ΔX m известны. Тогда за наилучшее значение Y принимается величина Y = f(X 1, …, X m ).(2) Погрешность косвенного измерения величины Y зависит от погрешностей всех прямо измеренных величин, входящих в уравнение связи (1), а также от погрешности вычислений.

3 1 Способы оценки погрешности косвенных измерений Погрешности вычисления в большинстве практических случаев можно устранить (например, при ручном расчете с помощью сохранения запасной значащей цифры). Способ учета погрешностей величин, от которых зависит косвенно измеряемая величина Y, начнем рассматривать для случая, когда Y зависит только от одной прямо измеренной величины X = X ± ΔX, т.е. Y = f(X). Обычно абсолютная погрешность ΔX невелика по сравнению с |X|, и график функции f(X) близок к прямой на интервале [X – ΔX; X + ΔX] как показано на рис. 1. Поэтому график f(X) незначительно отличается от касательной, проведенной в точке (X ; Y ).

4 1 Способы оценки погрешности косвенных измерений Рис. 1 - Определение погрешности косвенно измеряемой величины

5 1 Способы оценки погрешности косвенных измерений Из рисунка видно, что на интервале [X – ΔX; X + X] значения Y лежат в промежутке [f(X – ΔX); f(X + ΔX)]. Тогда в качестве абсолютной погрешности для Y можно было бы принять одну из величин ΔY1 = |Y – f(X – ΔX)| или ΔY2 = |Y – f(X + ΔX)|. Однако эти величины в общем случае не равны между собой, поэтому из них надо выбирать, например, наибольшую. В любом случае необходимо два раза вычислять значение функции f(X). Это неудобно, особенно если косвенно измеряемая величина Y зависит не от одной, а от нескольких прямо измеряемых величин. Например, если Y = f(X 1, X 2 ), то ΔY = max {|Y – f(X 1 – ΔX 1, X 2 – ΔX 2 )|, |Y – – f(X 1 – ΔX 1, X 2 + ΔX 2 )|, |Y – f(X 1 + ΔX 1, X 2 – ΔX 2 )|, |Y – f(X ΔX 1, X 2 + ΔX 2 )|}. Таким образом, уже при двух аргументах необходимо четыре раза вычислять функцию и выбирать максимальное из четырех значений.

6 Более удобно вычислять абсолютную погрешность косвенно измеряемой величины Y по очевидной из рис. 1 формуле ΔY = |f (X)| ΔX,(3) где f (X) = tg(φ) – значение производной функции f(X) в точке (X ; Y), численно равное тангенсу угла φ наклона касательной в этой точке к оси oX. Из формулы (3) видно, что абсолютная погрешность косвенно измеряемой величины ΔY зависит не только от абсолютной погрешности прямо измеряемой величины ΔX. Она зависит также и от степени зависимости Y от X, которую отражает множитель |f (X)|. Чем круче наклонен график f(X), тем больше степень зависимости Y от X и тем больше значение |f (X)|. 1 Способы оценки погрешности косвенных измерений

7 2 Порядок оценки погрешности косвенных измерений Искомая физическая величина определяется как некоторая функция Y = f(X 1, …, X m ) других величин X 1, …, X m, измерения которых выполнены с одинаковой надежностью α и их результаты X 1 = X 1 ± ΔX 1, …, X m = X m ± ΔX m известны. В этом случае ручную обработку результатов измерений удобно проводить, заполняя таблицу, аналогичную табл. 1. В этой таблице вместо X везде должно приводиться буквенное обозначение измеряемой величины, вместо многоточия «…» – конкретные числовые значения, а вместо символов подчеркивания «_» и подчеркнутых символов – выражения, содержащие либо буквенные обозначения прямо измеренных величин, либо их числовые значения, зависящие от смысла косвенно измеряемой величины.

8 2 Порядок оценки погрешности косвенных измерений Название такой таблицы определяется в основном решаемой прикладной задачей, однако целесообразно, чтобы в нем были упомянуты развернутое название и выражение для косвенно измеряемой величины. Наличие в таблице клеток для промежуточных результатов облегчает контроль вычислений и делает более наглядным их алгоритм, что особенно полезно на этапе обучения. Смысл значений, заносимых в соответствующие клетки, ясен из приведенных обозначений.

9 2 Порядок оценки погрешности косвенных измерений