Элементы теории вероятности и математической статистики Теория вероятностей возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности, теория вероятностей изучает эти закономерности. Математическая статистика это наука изучающая методы обработки результатов наблюдения массовых случайных явлений, обладающих статистической устойчивостью, с целью выявления этих закономерностей

1. Правило сложения 2. Правило умножения Теория вероятностей, как и другие разделы математики, занимается изучением не конкретных явлений окружающего мира, а их математических моделей. Модели идеализируются, т.е. игнорируются ситуации, несущественные для данного явления (выпадения ребра при подкидывании монеты).

Случайные события. Операции над событиями В результате многократного повторения одних и тех же условий, которые носят название испытаний или опытов, можно наблюдать появление или непоявление в них некоторого события. Событие- результат испытания. Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (при бросании монеты может выпасть орел, а может и не выпасть). События обозначаются заглавными буквами: А, В, С, Н. Пример. Бросают монету испытание. Событие А={выпадение орла (герба)}, событие В={выпадение решки} случайные события.

Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдет в результате испытания (извлечение белого шарика из ящика с белыми шарами). Невозможным считается событие, которое не может произойти в результате данного испытания (извлечение черного шарика из ящика с белыми шарами). События А и В называются равными, если они происходят или не происходят одновременно. Если в результате испытания может произойти один из нескольких исходов, ни один из которых нельзя считать более (или менее) возможным, чем остальные, то эти исходы будем называть равновозможными. Пример. Событие А={выпало больше 4-х очков}, событие В={выпало 5 или 6 очков}. А=В.

Противоположным к событию А называется событие, которое происходит тогда и только тогда когда не происходит событие А. События А и В называются несовместными, если они не могут произойти в условиях одного опыта: АВ= (одновременно не могут выпасть орел и решка). ( испытание: стрельба по мишени; А-выбивание четного числа очков; В- не четного). События А 1, А 2, …, А п образуют полную группу событий, если при любом результате опыта произойдет одно и только одно из этих событий. Т.е. полная группа событий это множество, которое содержит все возможные исходы данного испытания.

Операции над событиями Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания. Пример: в ящике находится красный, черный и белый шары. А- извлечение черного шара В- извлечение красного шара С- извлечение белого шара А+В – извлечен черный или красный шар В+С – извлечен красный или белый шар А+С – извлечен черный или белый шар

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания. Пример: происходят следующие события: А- из колоды карт вынута дама В- вынута карта пиковой масти АВ – событие – вынута карта дама пик Операции над событиями

Классическое определение вероятности Вероятность события- это численная мера объективной возможности появления этого события. Вероятность Р(А) наступления события А это отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу всех возможных исходов испытания. n – число всех исходов испытания m – число исходов благоприятствующих событию А

Свойство вероятности: 3) Вероятность невозможного события равна 0 1)1) 2) Вероятность достоверного события равна 1 Вероятность события А принимает значения от 0 до 1 включительно 4) Вероятность противоположного события равна

1) В ящике 4 черных и 6 белых шаров, извлекают 1 шар, какова вероятность что шар будет белым, черным ? n=10; m=6; А- Извлечение белого шара n=10; m=4; В- Извлечение черного шара 2) В ящике 10 шаров 2 черных, 4 белых, 4 красных, извлекают 1 шар. Какова вероятность, что он: А- черный; В- белый; С- красный; D- зеленый n=10; m=2 n =10; m =4 n =10; m =0 n =10; m =4

Теорема сложения вероятностей несовместных событий Теорема 1: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Сумма вероятностей попарно несовместных событий образующих полную группу, равна 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема 2: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: Теорема сложения вероятностей совместных событий

Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность Условной вероятностью называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло. Теорема 3: Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого (или: вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого): Теорема 4: Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Теорема умножения вероятностей. Условная вероятность Вероятность совместного наступления конечного числа событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили: Р(А 1 А 2 А 3 …А n )=Р(А 1 )Р А1 (А 2 )Р А1А2 (А 3 )…Р А1А2А3 …Аn-1 (А n ); Р А1А2А3…Аn-1 (А n ) – вероятность появления события А n, вычисленная в предположении, что события А 1 А 2 А 3 …А n-1 произошли Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий: Вероятность появления хотя бы одного из событий А 1 А 2 А 3 …А n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий назад

Формула полной вероятности. Формула Байеса Вероятность события А, которое может наступить только при условии появления одного из событий H 1, H 2, H 3,…,H n, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий H 1, H 2, H 3,…,H n на соответствующую условную вероятность события А : Формула полной вероятности далее

Формула полной вероятности. Формула Байеса Рассмотрим события В 1, В 2, В 3,…,В n которые образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них В i событие А может наступать с некоторой условной вероятностью Тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события А Сколько бы не было вероятностей: назад далее

Формула полной вероятности. Формула Байеса Рассмотрим событие А которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий, В 1, В 2, В 3,…,В n, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло то вероятность событий может быть переоценена по формуле Байеса, формуле вероятности гипотез: назад

Формула Бернулли Вероятность того что в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления события равна Р, Р(0<Р<1), событие наступит К раз безразлично в какой последовательности, вычисляется по формуле Бернулли q=1-p ; q- вероятность противоположного события или

Асимптотические формулы Если число испытаний велико, то использование формулы Бернулли будет нецелесообразным в силу необходимости выполнения громоздких вычислений. Теорема Муавра-Лапласа, дающая асимптотическую формулу, позволяет вычислить вероятность приближенно. Теорема: Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях равна p и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Р n (m) того, что в n испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна значению функции далее

Асимптотические формулы. Распределение Пуассона Если вероятность события в отдельном испытании близка к нулю, то применяют другую асимптотическую формулу- формулу Пуассона. Теорема: Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, но близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, а произведение np=, то вероятность Р n (m) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна назад

1) В журнале 10 страниц, необходимо на страницах поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии ? 2)Сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все десять цифр? назад