1.Обратные тригонометрические функции. Вычислите: arctg 1 + arctg 2 + arctg 3. Решение. Стоит только нарисовать клеточный фон (рис. 1), как задание выполняется практически устно. ВАМ, arctg 2 =, arctg 1 =BAC ( BAC острый угол прямоугольного равнобедрен­ного треугольника AВС). Ответ: Вычислите: Решение. Поскольку arctg =CAD (рис. 2), arcctg 5 = BAD, а угол ВАС острый в прямоугольном равнобедренном Ответ: треугольнике АВС, то arctg 3 = В этом пункте мы хотели бы рассмотреть несколько задач, связанных с вычислением значений выражений, содержащих обратные тригонометрические функции. ЗАДАЧА 1. ЗАДАЧА 2.

Вычислите: Решение. Если использовать понятия косинуса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника, теорему Пифагора и свойство биссектрисы треугольника, то задача решается почти мгновенно. На рис. 3 изображен треугольник АВС,, в которомACB = 90°, ВС = 5, АВ = 13 и ВМ - биссектриса угла АВС. Следовательно, МС = 5х, АМ= 13х и АС= 12, отсюда. Тогда Вычислите Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник АBС, где АB=BС=41, ВМАС,ВМ=40,CNAB (рис.4). Отрезок AM согласно теореме Пифагора имеет длину, равную 9. Видно, что Воспользовавшись подобием прямоугольных треугольников ANC и AMB, найдем ЗАДАЧА 3. ЗАДАЧА 4.

2. Алгебраические выражения. Часто в алгебре встречаются задания, в которых по заданным условиям на переменные, необходимо найти значение некоторого выражения, содержащего их. ЗАДАЧА 5. Из условий, и для положительных х, у и z, не вычисляяих значений, указать значение выражения Решение. Привычное задание решить систему уравненийу учащихся затруднений не вызывает. Однако в данном случае нужно, не решая систему, ответить на вопрос, чему равно значение выражения ху + yz. По теореме, обратной теореме Пифагора, числа х, у и z являются соответственно длинами катетов и гипотенузы треугольника ABD с прямым углом D. А, рассмотрев второе уравнение системы, можно сделать вывод, что у, z и 4 также есть соответственно длины катетов и гипотенузы треугольника BCD с прямым углом D (рис. 6). Третье уравнение системы разрешает утверждать, что число у есть среднее пропорциональноечисел х и z, и по теореме, обратнойтеореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол АВС прямой. Теперь рассмотрим выражение ху + yz. Примечание. Для данной системы уравнений задания могут быть и другие. Например, найти значение выражения х + у + z или в каком отношении находятся числа х и у; z и у; х + z и у. Ответ: 12

. Для положительных х, у и z из условий не находя значения х, у и z, вычислите значение выражения ху + уz + zx. Решение. Запишем три условия задачи в виде системы уравнений По теореме, обратной теореме, Пифагора, числаи 5 являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника АОС с прямым углом АОС. Числа х, Задача 6. и 13 есть длины сторон треугольника АОВ с углом АОВ, равным 135°. Этот вывод можно сделать, используя теорему, обратную теореме косинусов. Аналогично, x, и 12 есть длины сторон треугольника ВОС с углом ВОС, равным 135°. На рис. 8 изображены эти треугольники. Поскольку = 13 2, то в треугольнике АВС ACB = 90°. Теперь найдем площади треугольников АОВ, АОС, ВОС, АВС. Видно, что значение выражения ху + yz +zx равно учетверенной площади треугольника ABC.Итак, xy+yz+zx =120 Ответ:120

ЗАДАЧА 7. Для положительных х, у и z, не вычисляя их значения из системы уравнений определите величину ху + 2уz + Зxz. Рассуждая так же, как и в задаче 8, получаем (рис. 9): Так как площадь треугольника AВС равна 6, то Ответ:

3. Системы уравнений. Решению систем уравнений в алгебре отводится достаточно большое внимание. О ни встречаются и в Поэтому, тем более, интересен такой нестандартный подход к решению некоторых с истем уравнений, рассмотренных в этом пункте. ЗАДАЧА 8. Имеет ли система уравненийрешения для х > 0, у > 0 и z> 0? рис.10 Допустим, что есть такая тройка положительных чисел х, у и z, удовлетворяющая каждому уравнению данной системы. Тогда возможна ее геометрическая интерпретация, как в задаче 8 (рис.10). Но такого треугольника АВС не может быть, так как не выполняется неравенство треугольника. Значит, система не имеет решений. Примечание. Для положительных x,y и z данная система имеет решение, если в правой части третьего уравнения поставить число из промежутка (1; 25). Ответ: нет решений. вариантах ЕГЭ.

то Решите систему уравнений Решение. Нетрудно убедиться, что х и у положительны. Поскольку числа у,и х являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника АВС с прямым углом АСВ (рис. 11). Площадь этого треугольника 24 кв. ед., а его периметр 24 ед. Поэтому радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен 2. Так как длина гипотенузы АВ равна сумме длин катетов АС и ВС без удвоенной длины радиуса вписанной в треугольник окружности, то Из второго уравнения системы получаем х = 10. Значит, у = 6 или у = 8. Ответ: (10; 6), (10; 8). ЗАДАЧА 9.

ЗАДАЧА 10. Решите систему уравнений Решение. Первое уравнение системы задает плоскость, второе сферу. Если их изобразить, то очевидно, что 0

ЗАДАЧА 11. Решите систему уравнений Решение. Уравнение x+y+z=3 - есть уравнение плоскости (рис. 12), пересекающей оси прямоугольнойдекартовой системы координат в, А(3;0;0), B(0;3;0), С(0; 0; 3). Уравнение есть уравнение сферы с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом R, равным Вычислим расстояние от точки О до плоскости AВС. Для этого рассмотрим тетраэдр ОАВС. Объем V тетраэдра равен где H=OD (D центр треугольника АВС). Этот объем можно найти иначе: Приравняви, получаем H=. Э то означает, что расстояние от точки О до плоскости А ВС равно радиусу с феры, а значит, плоскость касается сферы. Следовательно, точка касания является центром треугольника АВС. П оскольку D(x; у; z) центр равностороннего треугольника АВС, где А(3; 0; 0), В(0; 3; 0),С(0;0;3), то x=y=z. Заменив у и z на х в уравнениях данной системы, получаем x=1. Ответ: (1; 1; 1).

ЗАДАЧА 12. Решите систему уравнений Решение. Рассмотрим слагаемые левой части второго уравнения: Пусть это расстояние между точками М(х; у) и A(2;-1). Допустим, что это расстояние между точками М (х;у} и В(10; 5). Найдем расстояние между точками А(2; -1) и В(10;5): Итак, второе уравнение системы можно интер­претировать как равенство AM + ВМ = АВ. Это дает нам право утверждать, что точка М принадлежит отрезку АВ, т.е. 2 х 10 и -1 у 5 Составим уравнение прямой АВ, проходящей через точки А(2; -1) и B(10; 5). и Отсюда т.е., или Зх 4у = 10. Запишем новую систему: Значит, х = 6 и у = 2. Ответ: (6; 2).

4. Аналитический способ решения. Рассмотрим аналитический способ решения некоторых задач, рассмотренных выше, чтобы была возможность убедиться в том, что геометрический подход дает более быстрое, а главное, красивое решение этих задач. ЗАДАЧА 1. Рассмотрим аналитический способ решения. Решение. Обозначим: где Найдем Таким образом, учитывая условие, что получим, что k=1 и т.е. Ответ: ЗАДАЧА 2. Решим систему аналитически: Решение: Обозначим уравнение - (1),

уравнение - (2). Заметим, чтоа Сделаем замену тогда уравнение (2) системы запишется в виде: Возведем обе части уравнения в квадрат, получим: Сделаем обратную замену: Получим систему: Поскольку мы не следили за равносильностью переходов, сделаем проверку: (1) -(2) - Ответ: (6;2).