Глава 11 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1 Многомерное пространство. Понятие функции нескольких переменных 1

Определение 1 Множество всех упорядоченных наборов где - действительные числа называется n-мерным арифметическим точечным пространством и обозначается, а его элементы – точками пространства. Числа называются координатами точки. 2 V. Khudenko

Определение 2 Расстоянием между двумя точками и n – мерного пространства называется число 3 V. Khudenko

Арифметическое n- мерное пространство, на котором задано расстояние между двумя точками называется метрическим пространством. 4 V. Khudenko

Определение 3 Множество точек, расстояние от каждой из которых до фиксированной точки не превосходит некоторого положительного числа r: называют n-мерным замкнутым шаром с центром в точке 5 V. Khudenko

Примеры для начальных размерностей: 6 V. Khudenko

7

8

Определение 4 Открытым шаром с центром в точке называется множество точек Р пространства, расстояние от каждой из которых до точки меньше r 9 V. Khudenko

Определение 5 Множество точек, удовлетворяющих условию называется n-мерной сферой радиуса r и с центром в точке P 0 10 V. Khudenko

Определение 6 Окрестностью радиуса δ (δ-окрестностью) точки Р 0 называется открытый шар с центром в точкеР 0 и радиуса δ 11 V. Khudenko

Определение 7 Проколотой окрестностью точки Р 0 радиуса r, обозначаемой называется множество точек Р, удовлетворяющих неравенству : 12 V. Khudenko

13 Пусть D R n - произвольное множество точек арифметического пространства R n. Если правило f (закон) каждой точке ставит в соответствие единственное действительное число, то говорят, что на множестве задана числовая функция (или отображение f от n переменных и пишут : Множество D называется областью определения, V. Khudenko

14 а множество множеством значений функции V. Khudenko

15 В частном случае, при n=2 функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точек плоскости. Частное значение функции при x=x 0 и y=y 0 будем обозначать,, Функция двух переменных может быть задана: аналитически; графическим способом (графиком функции является множество табличным (для функции двух переменных таблица с двумя входами). V. Khudenko

animation 16

17 Функция двух переменных изображается как множество точек, которое представляет из себя поверхность. Проекцией поверхности на плоскость ОХY является область D(f). 1. Примеры: 2. V. Khudenko

18 V. Khudenko

19 V. Khudenko

§2 Понятие предела функции нескольких переменных последовательность точек сходится к точке Р 0, если в любой её окрестности лежат все точки последовательности, начиная с некоторого номера N, иначе говоря, 20 V. Khudenko

Определение 1 Число z 0 называется пределом функции z=f(x,y) в точке, если для любой сходящейся к ней последовательности точек соответствующая последовательность значений функции сходится к z 0 21 V. Khudenko

22

Замечание Определением предела функции по Гейне удобно пользоваться в случае, когда надо доказать, что предела функции в точке не существует. 23 V. Khudenko

Пример: Доказать, что не существует предела функции в точке О(0;0). Воспользуемся двумя последовательностями точек: 24 V. Khudenko

Тогда соответственно получим: Таким образом, двум последовательностям, сходящимся к началу координат ( следовательно, имеющим один и тот же предел), соответствуют две последовательности функций имеющие разные пределы. 25 V. Khudenko

Определение Число z 0 называется пределом функции при,, т.е. в точке, если для любого существует число r>0, такое, что для любой точки P(x;y) выполняется неравенство 26 V. Khudenko

Определение Число z 0 называется пределом функции z=f(x,y) при,x x 0,y y 0 т.е. в точке (x 0,у 0 ), если для любого существует число >0, такое, что для любой точки P(x;y)из выколотой окрестности точки (x 0,у 0 ), выполняется неравенство 27 V. Khudenko

28 V. Khudenko

29

30 Понятие предела можно обобщить на случай нескольких переменных: Определение 4.3. Пусть функция определена в Тогда число u 0 называется пределом функции при P P 0 если для любого ε>0 существует r(ε)>0, такое что для любой точки выполняется неравенство V. Khudenko

§ 3 Непрерывность функции нескольких переменных Определение Функция называется непрерывной в точке если выполнены следующие три условия: 1.f(P)определена в точке P 0 и некоторой ее окрестности; 2. существует V. Khudenko

Если в точке P 0 одно из указанных условий не выполняется, то она является точкой разрыва функции u=f(P). Для функции двух переменных z=f(x,y) точки разрыва могут быть изолированными или образовывать линию разрыва. Для функции трех переменных u=f(x,y,z) точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линию или поверхность разрыва. 32 V. Khudenko

Исследовать функции на разрыв V. Khudenko

Теорема 1 Если функция z=f(P) непрерывна на замкнутом, ограниченном множестве, то она ограничена на нем и достигает в некоторых точках и этого множества своих точных верхней и нижней граней 34 V. Khudenko

35 V. Khudenko

36

Теорема 2 Если функция z=f( P) непрерывна на замкнутом связном, ограниченном множестве D, то она принимает на нем все промежуточные значения. 37 V. Khudenko

38

39 V. Khudenko

Теорема 3 Если функция z=f(P) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве D, то она равномерно-непрерывна на этом множестве, т.е. для любого ε>0 существует, r>0 такое что для любых двух точек P 1 и P 2 множества D, находящихся на расстоянии, меньшем r, выполняется неравенство 40 V. Khudenko