Метод узловых потенциалов U 2 (t) U 1 (t)

Метод контурных токов позволяет составить (m-n+1) уравнений, однако в ряде случаев электрическая цепь имеет большое число ветвей, но малое число узлов, и в этом случае применение метода контурных токов нерационально. Метод узловых потенциалов, применяемый для таких электрических цепей, позволяет существенно сократить количество уравнений и упростить расчет. Введение

Электрическая схема R6R6 Е5Е5 Е3Е3 R5R5 R3R3 R4R4 R2R2 R1R1 Е4Е4 Е2Е2 Е1Е1 IkIk I6I6 I5I5 I3I3 I4I4 I1I1 I2I Пусть известны потенциалы узлов φ 1, φ 2, φ 3,причем φ 3 =0. По закону Ома для участка цепи: Метод узловых потенциалов Электрические цепи постоянного тока

Вывод уравнений Первый закон Кирхгофа для узла 1 Подставим значения токов в полученное уравнение Приведя подобные и сгруппировав, получим: Метод узловых потенциалов U 2 (t) U 1 (t) Электрические цепи постоянного тока По методу узловых потенциалов составляется система из (n-1) уравнений n- число узлов

Система уравнений для произвольной цепи Если обозначить правые части системы (1) I 11, I 22, I 33 и т.д.,получим систему (2) Метод узловых потенциалов Электрические цепи постоянного тока

U 2 (t) U 1 (t) Метод узловых потенциалов g 11, g 22, …, g kk - собственные проводимости узлов; g 12, g 13, …g 1k -взаимные проводимости узлов 12,13,…1 к Δ k1,..., Δ km -алгебраические дополнения Электрические цепи постоянного тока I 22, I 33, …,I kk - узловые токи Δ km - получается из главного определителя Δ путем вычеркивания к-ой строки и m-го столбца и умножения его на (-1) к+м

Электрические цепи постоянного тока Метод узловых потенциалов U 2 (t) U 1 (t) Замечания к методу узловых потенциалов : 1. Если в электрической цепи существует ветвь без сопротивления, то заземлять нужно именно тот узел, к которому присоединена эта ветвь. 2. При последовательном соединении сопротивлений проводимость этой ветви определяется по следующим формулам 1 R3R3 R1R1 R2R2 E 2 3 IkIk R1R1 R2R2

Порядок расчета электрической цепи методом узловых потенциалов 1. Выбираем условно- положительные направления токов в цепи. 2. Выбираем узел, потенциал которого принимается равным нулю. 3. Записываем для остальных узлов уравнения по методу узловых потенциалов. 4. Решаем систему из (n1) уравнений и определяем потенциалы узлов. 5. По закону Ома для участка цепи определяем токи в ветвях электрической цепи. 6. Осуществляем проверку полученного решения по законам Кирхгофа или по уравнению баланса мощности. U 2 (t) U 1 (t) Метод узловых потенциалов Электрические цепи постоянного тока

U 2 (t) U 1 (t) Метод узловых потенциалов Пример В электрической цепи Рис.2 определить все токи методом узловых потенциалов. R3R3 1 R1R1 Рис.2 R2R2 E 2 3 IkIk I1I1 I2I2 I3I3 I Решение 1. Расставляем условно - положительные направления токов. 2. Принимаем потенциал третьего узлам равным нулю (φ 3 =0), тогда потенциал второго узла будет равен Э.Д.С.(φ 2 =Е) 3. Записываем уравнение для узла 1. или

Электрические цепи постоянного тока U 2 (t) U 1 (t) Метод узловых потенциалов Из последнего выражения найдем φ 1 Токи найдем по закону Ома для участка цепи Ток I в ветви с Э.Д.С. можно определить только по первому закону Кирхгофа

Метод двух узлов Электрические цепи постоянного тока U 2 (t) U 1 (t) Узловые потенциалы Рис.2 I1I1 1 R1R1 R2R2 E1E1 IkIk I3I3 I2I2 R3R3 E2E2 E3E3 U 12 2 Метод двух узлов - частный случай узловых потенциалов Уравнение для узла 1 по первому закону Кирхгофа (1) (2) (3) (4)

Подставив 1,2,3 в 4 получим уравнение Электрические цепи постоянного тока U 2 (t) U 1 (t) Узловые потенциалы(метод двух узлов) (5)

Кафедра ТОЭ НГТУ Электрические цепи постоянного тока U 2 (t) U 1 (t) Узловые потенциалы(метод двух узлов) Правило знаков в формуле (5) В числителе формулы (5) все слагаемые,имеющие направление в 1 ый индекс у напряжения записываются со знаком плюс.