Векторы в пространстве вход

Содержание I. Понятие вектора в пространстве Понятие вектора в пространстве II.Коллинеарные векторы Коллинеарные векторы III.Компланарные векторы Компланарные векторы IV.Действия с векторами Действия с векторами V.Разложение вектора Разложение вектора VI.Базисные задачи Базисные задачи Проверь себя

Понятие вектора в пространстве Вектор(направленный отрезок) – отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом. Длина вектора – длина отрезка AB. А В M

Коллинеарные векторы Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Среди коллинеарных различают: Сонаправленные векторы Противоположно направленные векторы Признак коллинеарности

Сонаправленные векторы Сонаправленные векторы - векторы, лежащие по одну сторону от прямой, проходящей через их начала. Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором. Равные векторы

Равные векторы - сонаправленные векторы, длины которых равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Противоположно направленные векторы Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала. Противоположные векторы

Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны. Вектором, противоположным нулевому, считается нулевой вектор.

Признак коллинеарности

Определение компланарныййх векторов Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости. Пример: B А C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1

О компланарныййх векторах Любые два вектора всегда компланарныйй. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарныйй. α если

Признак компланарности

Свойство компланарныййх векторов

Справедливо ли утверждение?

Ответы 1.да; 2.нет, могут быть противоположно направленными; 3.да; 4.нет, вектора могут иметь разную длину; 5.да.

Проверочная работа Задание Ответ 1Длина вектора – длина …Дополнить пропуски, начертить чертеж 2 Равные векторы -…., длины которых …. Дополнить пропуски, начертить чертеж 3Противоположные векторы – …. векторы, длины которых …. Дополнить пропуски, начертить чертеж 4Любые равные вектора сонаправлены? Справедливо ли утверждение? 5Любые сонаправленные векторы коллинеарны? Справедливо ли утверждение? 6 Изобразите на чертеже

Решение задач D A B C M N K

A D B C A1A1 D1D1 B1B1 C1C1 M К

Самостоятельная работа 1. Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 имеют длины: AD=8 см, AB=9 см, AA 1 =12 см. Найдите длины векторов: CC1, CD, C1D1.

Действия с векторами Сложение Вычитание Умножение вектора на число Скалярное произведение

Сложение векторов Правило треугольника Правило параллелограмма Правило многоугольника Правило параллелепипеда Свойства сложения

Правило треугольника А B C

Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:

Правило параллелограмма А B C

Свойства сложения

Правило многоугольника Сумма векторов равна вектору, проведенному из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании). B A C D E Пример

C A B D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1

Правило параллелепипеда B А C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1 Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда.

Свойства B А C D A1A1 B1B1 C1C1 D1D1

Задача 335 стр. 83

Вычитание векторов Вычитание Сложение с противоположным

Вычитание Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору.

Вычитание B A C

Правило трех точек Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки. А B K

Сложение с противоположным Разность векторов и можно представить как сумму вектора и вектора, противоположного вектору. АB O

Задача 337 стр. 84

Умножение вектора на число

Свойства Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Свойства

Задача 347 стр. 84

Простейшие задачи в координатах Учебник Стр. 99 А) Координаты середины отрезка В) Вычисление длины вектора по его координатам С) Расстояние между двумя точками

Задачи 407, 409, 410, 411, 418, 420, 424, 426, 428 стр. 101

Скалярное произведение Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Справедливые утверждения скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины

Вычисление скалярного произведения в координатах

Свойства скалярного произведения (переместительный закон) (распределительный закон) (сочетательный закон)