Введение в комбинаторику и теорию вероятностей. 1) Комбинаторика Комбинаторика 2) Факториал Факториал 3) Перестановки Перестановки 4) Размещения Размещения 5) Сочетания Сочетания 6) Частота и вероятность Частота и вероятность 7) Сложение вероятностей Сложение вероятностей 8) Умножение вероятностей Умножение вероятностей 900igr.net

Комбинаторика. «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare – «соединять, сочетать». Определение. Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из различных множеств.

Пример 2. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую цифру не более одного раза? дерево вариантов

Квадратные числа

Треугольные числа

Прямоугольные и непрямоугольные числа.

Факториал. Таблица факториалов: n n! Определение. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Обозначение n!

Перестановки. Определение. Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок элементов. Число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле: P n = n!

Пример 1. Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега на восьми беговых дорожках? Решение: P 8 = 8! =

Пример 2. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, причём в каждом числе цифры должны быть разные? Решение: Р 4 – Р 3 = 4! – 3! = 18.

Пример 3. Имеется 10 различных книг, среди которых есть трёхтомник одного автора. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке, если книги трёхтомника должны находиться вместе, но в любом прядке? Решение:

Размещения. Определение. Размещением из n элементов, называют конечного множества по k, где упорядоченное множество, состоящее из k элементов.

Пример 1. Из 12 учащихся нужно отобрать по одному человеку для участия в городских олимпиадах по математике, физике, истории и географии. Каждый из учащихся участвует только в одной олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать? Решение:

Пример 2. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны и первая цифра отлична от нуля? Решение:

Пример 3. Сколько существует трёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторений), которые НЕ кратны 3? Решение:

Сочетания. Определение. Подмножества, составленные из n элементов данного множества и содержащие k элементов в каждом подмножестве, называют сочетаниями из n элементов по k. (Сочетания различаются только элементами, порядок их не важен: ab и ba – это одно и тоже сочетание).

Треугольник Паскаля … …

Треугольник Паскаля …

Пример 1. Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из класса, в котором 20 человек? Решение:

Пример 2. Из вазы с цветами, в которой стоят 10 красных гвоздик и 5 белых, выбирают 2 красные гвоздики и одну белую. Сколькими способами можно сделать такой выбор букета? Решение:

Пример 3. Семь огурцов и три помидора надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один помидор и чтобы овощей в пакетах было поровну. Сколькими способами это можно сделать? Решение :

Частота и вероятность. Определение. Частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило (благоприятные испытания), к числу всех испытаний., где m – число испытаний с благоприятным исходом, n – число всех испытаний. Нахождение частоты предполагает, чтобы испытание было проведено фактически.

Частота и вероятность. Определение. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для А исходов к числу всех равновозможных исходов.. Нахождение вероятности не требует, чтобы испытание проводилось в действительности.

Пример 1. В урне 10 одинаковых шаров разного цвета: 2 красных, 3 синих, 5 жёлтых. Шары тщательно перемешаны. Наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется: а) красным; б) синим; в) жёлтым? Решение: а) б) в)

Пример 2. Коля и Миша бросают два игральных кубика. Они договорились, что если при бросании кубиков в сумме выпадет 8 очков, то выигрывает Коля, а если в сумме выпадет 7 очков, то выигрывает Миша. Справедлива ли эта игра?

Решение:

Пример 3. Из собранных 10 велосипедов только 7 не имеют дефектов. Какова вероятность того, что 4 выбранных велосипеда из этих 10 окажутся без дефекта? Решение :

Сложение вероятностей.

D и E называются несовместными событиями.

Сложение вероятностей. Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Пример 1. В урне находятся 30 шаров 10 белых, 15 красных и 5 синих. Найдите вероятность появления цветного шара. Решение :

Пример 2. В контейнере 10 деталей, из низ 2 нестандартные. Найдите вероятность того, что из 6 наугад отобранных деталей окажется не более одной нестандартной. Решение : - всего событий Событие А – все 6 отобранных деталей стандартные, событие В – среди 6 отобранных деталей одна нестандартная.

- благоприятные события для А - благоприятные события для В

Умножение вероятностей. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Пример 1. Монету бросают 3 раза подряд. Какова вероятность, что решка выпадет все три раза. Решение :

Пример 2. Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого орудия равна 0,8, а при стрельбе из второго орудия равна 0,7. Найдите вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждое орудие сделало по одному выстрелу. Решение : событие А – попадание в цель 1-го орудия; событие В – попадание в цель 2-го орудия.

событие - промах 1-го орудия событие - промах 2-го орудия события независимые события А и противоположные

Подготовка к проверочной работе

Задача 1: Сколькими способами могут быть расставлены десять участниц финального забега на десяти беговых дорожках?

Задача 2: Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, причём в каждом числе цифры должны быть разные?

Задача 3: Сколько существует шестизначных телефонных номеров, в которых все цифры различны и первая цифра отлична от нуля?

Задание 4: Сколькими способами можно выбрать 5 дежурных из класса, в котором 30 человек?

Задание 5: 9 конфет и три яблока надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете было хотя бы одно яблоко и чтобы содержимого в пакетах было поровну. Сколькими способами это можно сделать?

Задание 6: В урне 8 шаров разного цвета: 4 белых, 2 черных, 2 зеленых. Шары тщательно перемешаны. Наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется: зеленый?

Задание 7: Из собранных 15 компьютеров только 11 не имеют дефектов. Какова вероятность того, что 8 выбранных компьютера из этих 15 окажутся без дефекта?

Вычислите: а) 7! б) 8! в) 6!-5! г) 5!/5 Делится ли 11! на: а) 64; б) 25; в) 81; г) 49? Вычислите: (7!-5!)/6!; (6!-4!)/3! Вычислите: а) 10!/5!; б) 11!/5!*6!; в)51!/49! Сократите дробь: _ (4m-1)!_ (4m-3)! Решите: (m+17)!=420(m+15)!

Домашнее задание 1. Три первоклассника по очереди покупают воздушные шарики. Каждый из них покупает шарик одного из двух цветов: зеленого (3) или синего (С). Найдите вероятность каждого из них. 2. В двух коробках лежат карандаши одинаковой величины и формы, но разного цвета. В первой коробке 4 красных и 6 черных, а во второй 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимается наугад по одному карандашу. Какова вероят­ность того, Что оба карандаша окажутся красными?