«Плюсы» и «минусы» основных числовых систем. Условия. Вид комплексного числа. Определения. Определения Формулы. Формулы. Свойства. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Сложение и умножение комплексных чисел. Формула Муавра.

Числовая система Допустимые алгебраические операции Частично допустимые алгебраические операции. Натуральные числа, NСложение, умножение Вычитание, деление, извлечение корней. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в N Целые числа, ZСложение, вычитание, умножение. Деление, извлечение корней. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в Z Рациональные числа, QСложение, вычитание, умножение, деление. Извлечение корней из неотрицательных чисел. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в Q Действительные числа, RСложение, вычитание, умножение, деление, извлечение корней из неотрицательных чисел. Извлечение корней из произвольных чисел. Но с другой стороне, уравнение не имеет корней в R Комплексные числа, C Все операции

1. Существует комплексное число, квадрат которого равен Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. 3. Операции сложение, вычитания, умножения и деления комплексных чисел удовлетворяют обычным законом арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному)

В общем виде правила арифметических операций с чисто мнимыми числами таковы: ai+bi=(a+b)i; ai-bi=(a-b)i; a(bi)=(ab)i; (ai)(bi)=abit=-ab (a и b –действительные числа) i²=-1, i-мнимая единица

Сумма комплексных чисел: z 1+ z 2 = (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(bi+di)=(a+c)+i(b+d) Разность комплексных чисел: z 1 - z 2 = (a+bi)-(c+di)=(a-c)+i(b-d) Произведение комплексных чисел: (a+bi)(c+di)=i(ac-bd)+(bc+ad) Формула для частного двух комплексных чисел: a+bi = ac+bd + bc-ad c+di c²+d² c²+d² i

z2z2 Свойство 1 Если z = x + yi, то z*z = x ² + y² z 1 Следует и числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное знаменателю. Свойство 2 Z1+ Z2=Z1+Z2 т.е. число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно сумме сопряженных данным числам. Свойство 3 Z1-Z2=Z1-Z2, т.е. число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно разности сопряженных данным числам.

Свойство 4 Z1Z2=Z1 Z2 т.е число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно произведению сопряженных данным числам. С другой стороны, Z1= a-bi, c-di, значит, Z1 Z2 = (ac – bd)-i(bc+ad) Свойство 5 Свойство 6

Y 0 X Bi A Z=A+Bl Y Bi 0A M(A;B) X

Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)0 и любого натурального числа n

Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n-корней.

Презентацию выполнила: ученица 10 «а» класс МОАУ «Гимназии 7» г.Оренбурга Елимова Мария.