Векторы в пространстве

Введение Одними из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а также в технике. В середине прошлого столетия в работах В. Гамильтона, Ф. Мё­биуса понятие вектора нашло широкое применение при изучении свойств трехмерного и многомерного пространств.

О трактовке понятия вектора Действительно, понятие вектора тесно связано с принятой сей­час теоретико-множественной трактовкой основных понятий школь­ного курса математики. Например, с таким важнейшим понятием школьного курса геометрии, как понятие перемещения. Кроме того, понятие вектора находит достаточно широкие приложения при рассмотрении различных вопросов школьных курсов математики и физики.

О трактовке понятия вектора В физике при помощи вектора изображаются различные направ­ленные величины: сила, скорость, ускорение и т. п., в силу чего вектор обычно определялся здесь как направленный отрезок. При этом часто такая направленная величина оказывалась существен­но связанной с определенной точкой (точкой ее приложения) или прямой.

О трактовке понятия вектора Далее, равные сонаправленные отрезки принимались за пред­ставителей одного так называемого свободного вектора, который, таким образом, трактовался как бесконечное множество равных, одинаково направленных отрезков. Каждая точка плоскости при этой трактовке представляет собой начало некоторого отрезка из семейства отрезков на плоскости.

О трактовке понятия вектора В современной трактовке принято отождествлять график с самим отображением. Все сказанное и привело к отождествлению в школьном курсе математики параллельного переноса и вектора как синонимов, обозначающих одно и то же понятие.

Применение векторов при решении задач Введение в школьный курс геометрии векторного аппарата вооружает учащихся ещё одним методом решения геометрических задач – векторным. Возможноси этого метода довольно широки, поскольку он охватывает многочисленные аффинные задачи, а после введения скалярного произведения векторов – и метрические.

Применение векторов при решении задач В плоскости даны четырехугольник ABCD и точка М. Докажите, что точки, симметричные точке М относительно середин сторон этого четырехугольника, являются вершинами параллело­грамма. Решение. Пусть ABCD данный четырехугольник (рис. 29), a N, Р, Q и R точки, симметричные точке М относительно сере­дин [АВ], [ВС], [CD] и [DA]. Согласно «правилу параллелограмма» имеем: MN=MA+MB По определению разности векторов: NR=MR-MN и PQ=MQ-MP Значит, что четырехуголь­ник NPQR параллелограмм.

Заключение В математике в настоящее время на векторной основе изла­гаются линейная алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрии. Между тем вектор чисто математическое понятие, которое лишь применяется в физике или других прикладных науках и которое позволяет упростить решение некоторых сложных задач этих наук.