Н АЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Курс лекций для проведения занятий Отредактирован преподавателем математических дисциплин ГАПОУ СО ЕКТС Башкирцевой Г.А.

П РОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при х 0 называется производной функции f(x) в точке х 0 : Штрих - обозначает действие нахождения производной Определение: Производная – это скорость изменения функции!

f(х 0 ) х х 0 х 0 О М f(х) х y x y – приращение аргумента приращение функции – x = х – х 0 ; y = f(х) – f(х 0 ); y = f(х)

Действие нахождения производной называется - дифференцированием. Функция, имеющая производную, называется дифференцируемой. Другие обозначения:

ОБЩЕЕ ПРАВИЛО ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ:

Правила дифференцирования

Производные элементарных функций 1) 2) 3) 4) 5) СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Производные элементарных функций 6) 7) 8) 9) 10) ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Производные элементарных функций 11) 12) 13) 14) ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Математический диктант

Вычисление производных элементарных функций

Д/З Вычислить производные: Вычислить производные в заданных точках: Выучить формулы!

1) у = x sinx ; у = (x sinx) UV = (x) sinx + x( sinx) = = 1 sinx + x cosx= sinx + x cosx Вычисление по правилу произведения

1) Вычисление по правилу дроби

2)

3) Вычислить производную в заданной точке:

4)

5)

Самостоятельно вычислить производную в заданной точке:

Производная сложной функции f(x) = f ( u(x) ) f(x) = f(u) u Пример: 1) у = (2x – 7) 14 ; u(x) = 2x – 7; f(u) = u 14 ; у = f(u) u(x) = u 14u 13 2 =28(2x – 7) 13

f(x) = f ( u(x) ) f(x) = f(u) u(x)

f(x) = f ( u(x) ) f(x) = f(u) u(x) Учебник Алимов Ш.А.

Производной второго порядка (второй производной) называется производная от первой производной. Производная второго порядка Производная 3-го порядка: Производная 4-го порядка:

Вычислить:

П РИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

1) Рассмотрим движение материальной точки, координата которой изменяется по закону: S = S(t). Физический смысл производной Физический смысл производной первого порядка - это скорость движения 2) Ускорение движения – это скорость изменения скорости, значит Физический смысл производной второго порядка - это ускорение

Физический смысл производной А так как то

Задача 1 Координата точки при падении изменяется по закону: 1) Найти закон изменения скорости. 2) Ускорение - ускорение свободного падения 3) Найти x, υ, a через 3 с после начала падения

Задача 2 Точка движется прямолинейно по закону: Найти законы изменения скорости и ускорения. В какой момент времени ускорение будет равно 6 м/с 2 ; 48 м/с 2 ?

Задача 3 Точка движется по закону: Найдите момент её остановки. - момент остановки движения

Задача 4 Точка движется прямолинейно по закону: Найдите значения скорости и ускорения в момент времени:

Задача 5 Тело массой 1,6 кг движется прямолинейно по закону: Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения.

Даны два уравнения движения. Найти значения их ускорений в момент времени когда их скорости равны: Задача 6

1) Найти скорость и ускорение при 2) В какой момент времени скорость окажется равной нулю? 3) Тело массой 48 кг движется прямолинейно по закону: Найти кинетическую энергию тела через 6 с после начала движения. 4) Даны два уравнения движения. Найти значения их ускорений в момент времени когда их скорости равны: Задания для самостоятельного решения:

Геометрический смысл производной х 0 х 0 О х у α Производная функции в точке х 0 равна тангенсу угла наклона касательной Производная функции в точке х 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке

1 1 Найти угловой коэффициент и угол наклона касательной к графику функции: в точке с абсциссой х 0 = 0. Решение

Найти угловой коэффициент и угол наклона касательной к графику функции: Решение 2 2

Уравнение касательной и нормали Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке х 0 : Уравнение нормали к графику функции f(x) в точке х 0 :

3 3 Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в заданной точке: Решение: 1) f(х 0 ) = 3 2 – 4 = 5; 2) f (х) = 2x ; 3) f (х 0 ) = 23 = 6; 4) 5)

4 4 Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в заданной точке: Решение:

5 5 Найти угловой коэффициент и угол наклона касательной. Составить уравнение касательной к графику функции:

Подготовка к самостоятельной работе 1) Дан закон движения материальной точки, найти скорость и ускорение за время t: 2) Тело массой 26 кг движется прямолинейно по закону. Найти кинетическую энергию тела через 4 секунды после начала движения: 3) Найти угловой коэффициент и угол наклона касательной: 4) Составить уравнение касательной к графику функции в заданной точке:

Подготовка к самостоятельной работе 4) Найти угловой коэффициент и угол наклона касательной: 5) Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в заданной точке:

Рассмотрим функцию f(x). Найдем f (x). Если на некотором интервале f (x) > 0, то f(x) возрастает. f (x) < 0, то f(x) убывает. Точки, в которых f (x) = 0 или не существует, называются критическими точками. Эти точки могут быть точками экстремума (максимум или минимум). f (x 0 ) = 0 x 0 – критическая точка Монотонность функции и точки экстремума

х 0 х 0 f (х) х – + Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с «+» на «–», то это точка максимума. х 0 х 0 f (х) х –+ Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с «–» на «+», то это точка минимума. х 0 х 0 f (х) х + + Если производная не изменяет знак, то критическая точка не является точкой экстремума.

Правило исследования функции на монотонность и экстремум 1. Найти производную функции f (x); 2. Найти критические точки (f (x)=0 или не существует) ; 3. Исследовать знак производной на промежутках, определить точки максимума, минимума и промежутки монотонности; 4. Вычислить значения функции в точках экстремума

1 1 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции: f х f +

2 2 f х f + 1 _ max

3 3 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции: f -3 х f –+ +maxmin

4 4 Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции: 0 f х f – 3 + min –

Исследовать функции на монотонность и точки экстремума с помощью производной:

Д/З Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции:

Правило исследования функции на экстремум с помощью второй производной 1. Найти производную функции f (x) 2. Найти критические точки (f (x)=0 или f (x) не существует ) 3. Найти вторую производную f (x) 4. Исследовать знак второй производной в каждой из критических точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то –минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум надо искать с помощью первой производной; 5. Вычислить значения функции в точках экстремума

Исследовать функции на экстремум с помощью второй производной:

Выпуклость и точки перегиба функции Рассмотрим f (x). Если на некотором интервале f (x) > 0, то f(x) выпукла вниз. f (x) < 0, то f(x) выпукла вверх. Точки, в окрестности которых f (x) меняет знак, называются точками перегиба. х 0 – точка перегиба f (х) х 0 х 0 х – + х у Выпукла вверх Выпукла вниз точка перегиба

Правило нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба 1. Найти производную функции f (x); 2. Найти вторую производную функции f (x) ; 3. Найти критические точки ( f (x) =0 или не существует) ; 4. Исследовать знак второй производной на промежутках, определить точки перегиба и промежутки выпуклости; 5. Вычислить значения функции в точках перегиба

Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции: Исследовать функции на экстремум с помощью второй производной:

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке а в х у наибольшее наименьшее 1) Если нет экстремума, то наибольшее и наименьшее значения функции находятся на концах отрезка.

а в х у а в х у наиб наим наиб наим 2) Если экстремум есть, то наибольшее и наименьшее значения функции могут быть на концах отрезка или в точках экстремума.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции 1. Найти производную функции f (x); 2. Найти критические точки ( f (x)=0), проверить принадлежат ли они заданному промежутку ; 3. Вычислить значения функции в точках, которые принадлежат промежутку; 4. Вычислить значения функции на концах промежутка ( f(a) и f(b)) ; 5. Сравнить полученные значения, выбрать наибольшее и наименьшее значение функции, записать ответ.

1 1 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: Решение:

2 2 Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке [-1; 0].

3 3 Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке [-4; 4]

4 4 Найти наибольшее и наименьшее значения функции: на отрезке [1; 3].

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

Задача 8 Из квадратного листа жести со стороной 30 см надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был максимальным? 30 х х

Объем коробки: Решение Найти наибольшее значение функции V на интервале (0; 30)

Решение

Задача 9 Как согнуть кусок проволоки длиной 20 см, чтобы площадь ограниченного ею прямоугольника была наибольшей? Задача 10 Представьте число 10 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей. Задача 11 Найдите число, которое в сумме со своим квадратом дает этой сумме наименьшее значение.

И ССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОЕНИЕ ЕЕ ГРАФИКА

1)Найти область определения функции; 2)Найти точки пересечения графика с осями координат; 3)Найти промежутки монотонности функции и её экстремумы; 4)Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба; 5)Заполнить таблицу дополнительных значений; 6)Построить график функции, используя полученные результаты исследования. О БЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ

З АДАНИЕ : И ССЛЕДОВАТЬ ФУНКЦИЮ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОИТЬ ЕЁ ГРАФИК Решение: 1) Область определения функции: 2) При пересечении с осью OY: При пересечении с осью OX:

3) Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции: f 1,42 х f –+ 2,58 + maxmin

4) Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба: f (х) 2 х – +

5) Таблица дополнительных значений: x-0,500,511,4222,5834 y

5) Таблица дополнительных значений: x-0,500,511,4222,5834 y 38

6) График функции:

З АДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ И ССЛЕДОВАТЬ ФУНКЦИЮ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОИТЬ ЕЁ ГРАФИК

Подготовка к контрольной работе 1) Найти чему равна производная:

Подготовка к контрольной работе 2) Найти чему равна производная функции в заданной точке:

Подготовка к контрольной работе 3) Дан закон движения материальной точки, найти скорость и ускорение за время t:

Подготовка к контрольной работе 4) Составить уравнение касательной:

Подготовка к контрольной работе 5) Найти экстремумы функции: 1 х – 2 + maxmin –

Подготовка к контрольной работе 5) Найти экстремумы функции:

6)Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: Подготовка к контрольной работе

6)Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: Подготовка к контрольной работе